Pequeño teorema de Fermat
que cumple ésta condición, se le denomina: raíz primitiva de
Su interés principal está en su aplicación al problema de la primalidad y en criptografía.
[1] La civilización china parece que fue la primera cultura en estar interesada en la aritmética modular.
[2] Existe una hipótesis,[3] documentada por Joseph Needham, según la cual los números de la forma 2p − 2 fueron estudiados por esta civilización.
Así pues, matemáticos chinos formularon la hipótesis (a veces conocida como hipótesis china) de que p es primo si y solo si 2p ≡ 2 (mod p) (donde el símbolo ≡ significa congruencia según el módulo indicado).
Se cree ampliamente que la hipótesis china fue desarrollada 2000 años antes del trabajo de Fermat en el siglo XVII.
Aunque la hipótesis sea parcialmente incorrecta, es notable que pueda haber sido conocida por los matemáticos de la antigüedad.
Fermat estableció tal resultado en una carta a Frénicle de Bessy, pero como era habitual en él, omitió la prueba del mismo:[4]
La primera demostración publicada se debe a Leonhard Euler en 1736 en un artículo titulado Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio.
Para la demostración también se utiliza la propiedad de que si p es un número primo, entonces el coeficiente binomial
A continuación se muestran algunos ejemplos del teorema: Las aplicaciones son numerosas, particularmente en criptografía.
Así, Fermat escribió a Marin Mersenne:[11] Utilizando un método análogo, Euler invalidó la única conjetura falsa de Fermat, la cual decía que todo número de la forma Fn = 22n + 1, (con n natural), es primo.
Una importante familia de códigos asimétricos utiliza la tecnología llamada RSA.
El pequeño teorema de Fermat da una condición necesaria para que un número p sea primo.
Los tests indicados en la sección anterior son todos estadísticos, en el sentido de que existe siempre una probabilidad, a veces muy débil, de que el número que ha pasado el test no sea primo, debido a los pseudoprimos o al número de comprobaciones.
Una pequeña generalización del teorema, que se sigue de él, dice lo siguiente: si p es primo y m y n son enteros positivos con m ≡ n (mod p-1), entonces am ≡ an (mod p) para todos los enteros a.
