En este artículo se recogen unas cuantas demostraciones del pequeño teorema de Fermat, que establece: Si a es un número natural y p un número primo, entonces
Este teorema es un caso especial del teorema de Euler que generaliza este concepto mucho más.
Leonhard Euler dio en 1736 la primera demostración en un artículo titulado Theorematum Quorundam ad Números Primos Spectantium Demonstratio[1] y es la siguiente: Se demuestra por inducción matemática sobre los números naturales.
Para obtener la forma original, solo debemos conocer una sencilla propiedad en aritmética modular que dice que si A, B son dos números enteros cualesquiera tales que A ≡ B (mod n), entonces para cualquier número natural C tenemos que AC ≡ BC (mod n).
La demostración se basa en dos lemas que se exponen a continuación: Lema 1: Ley de cancelación.
Si u, x e y son números enteros y u no es divisible por un número primo p, y entonces nosotros podemos "cancelar" u, quedando Se puede comprobar fácilmente esto ya que según el lema de Euclides, si un primo p divide al producto rs (donde r y s son enteros), entonces p divide a r o p divide a s. Dado que ux ≡ uy (mod p) significa que p divide a ux - uy, sacando factor común, u(x - y), y puesto que p no divide a u, tenemos que p divide a (x - y) de lo que se sigue que x ≡ y (mod p).
Generalmente se denota a este grupo como (Z/nZ)x.
Una vez demostrado que G es un grupo se demuestra el teorema: