Teorema de Minkowski
En matemáticas, el teorema de Minkowski[1] afirma que cualquier conjunto convexo de ℝn simétrico respecto al origen y con volumen mayor que 2n contiene un punto de retículo no nulo.
Supóngase que L es un retículo con determinante d(L) en el espacio vectorial real de dimensión n, ℝn, y S es un subconjunto convexo de ℝn simétrico respecto el origen, es decir, que si x pertenece a S entonces -x también pertenece a S. El teorema de Minkowski declara que si el volumen de S es estrictamente mayor que 2n d(L), entonces S contiene al menos otro punto de la retícula además del origen.
De hecho, dado que S es simétrico, contendrá al menos tres puntos del retículo: el origen y ±x donde x ∈ L \ 0.
El ejemplo más sencillo de un retículo es el conjunto ℤn de todos los puntos con coeficientes enteros; su determinante es 1.
Para n = 2, el teorema afirma que una figura convexa en el plano euclideo simétrica respecto el origen y con área mayor que 4 encierra al menos un punto de la retícula además del origen.
La cota del área es importante: Si S es el interior del cuadrado con vértices (±1, ±1) entonces S es simétrico, convexo y su área es exactamente 4, pero el único punto de la retícula que contiene es el origen.
: Considérese la aplicación Intuitivamente, esta aplicación corta el plano en cuadrados de 2 por 2, y luego apila los cuadrados uno encima del otro.
Claramente, f (S) tiene un área menor o igual a 4, porque este conjunto se encuentra dentro de un cuadrado de 2 por 2.
Debido a la forma en que se definió f, la única forma en que f (p1) puede ser igual a f (p2) es tomar p2 con el fin de igualar p1 + (2i, 2j) para algunos enteros i y j, no ambos cero.
Es decir, las coordenadas de los dos puntos difieren en dos enteros pares.
Como S es simétrico con respecto al origen, −p1 también es un punto en S. Dado que S es convexo, el segmento rectilíneo entre −p1 y p2 se encuentra completamente en S y, en particular, el punto medio de ese segmento se encuentra en S. En otras palabras, es un punto en S. Pero este punto (i, j) es un punto entero y no es el origen ya que i y j no son ambos cero.
Por lo tanto, S contiene un punto entero distinto de cero.
Observaciones: El teorema de Minkowski da un límite superior para la longitud del vector distinto de cero más corto.
Teorema (cota de Minkowski en el vector más corto): Sea
El teorema de Minkowski se puede utilizar para demostrar Teorema de Dirichlet sobre la aproximación racional simultánea.
[5] También se sabe que el análogo computacional del teorema de Minkowski está en la clase PPP, y se ha conjeturado que puede ser PPP completo.
