Problema computacional

En ciencia computacional teórica, un problema computacional o problema abstracto es una relación entre un conjunto de instancias y un conjunto de soluciones.Un problema abstracto permite establecer formalmente la relación deseada entre cada instancia del problema y su correspondiente solución.Una solución algorítmica a un problema abstracto consiste de un algoritmo que por cada instancia del problema calcula al menos una solución correspondiente –en caso de haberla– o expide un certificado de que no existe solución alguna.Un problema abstracto se convierte en un problema concreto cuando las instancias y soluciones están codificadas en forma de lenguajes formales.Los problemas abstractos suelen definirse en dos partes: en la primera se describe al conjunto de instancias y en la segunda se describe la solución esperada para cada instancia.Por ejemplo, el problema de ordenación de números enteros se suele definir como sigue: Aquí tanto el conjunto de instancias y el de soluciones es el mismo, pues se trata del conjunto de todas las sucesiones finitas de números enteros.La relación que hay entre ellos asigna a cada sucesiónUna solución algorítmica al problema de ordenamiento es el ordenamiento de burbuja porque este algoritmo produce una solución como salida cada vez que se le suministra una instancia como entrada.En un problema de decisión cada instancia tiene asociada exactamente una solución "sí" o "no".Los problemas de decisión quedan completamente determinados por el conjuntode instancias que tienen asociada la solución "sí".Por ejemplo, el problema de decidir si una gráfica tiene o no un ciclo Hamiltoniano queda completamente determinado su conjunto de soluciones "sí":{\displaystyle \mathrm {HAM} =\left\{G\mid G{\text{ es una gráfica hamiltoniana}}\right\}}Con esta representación el problema equivale a preguntar si una instanciapertenece o no al conjuntoEn general, los problemas de decisión siempre equivalen a decidir la proposiciónes el conjunto de instancias con solución "sí".Una solución algorítmica para un problema de decisión es un algoritmo que calcula la función característica deel problema consiste en encontrar, si es que existe, una solucióny la solución es única, se dice que es un problema matemático.consiste en encontrar un factor no trivial deEsta fórmula simplemente está preguntando la existencia de un factor no trivial dees verdadera siempre y cuando exista solución parasiempre calcula una solución si es que esta existe.En un problema de optimización no solo se busca una solución, sino que se busca "la mejor" de todas.Cada problema de optimización puede concebirse como un problema de búsqueda y una función, comúnmente conocida como función objetivo, que determina la calidad de las soluciones.El problema de optimización (que a su vez es de búsqueda) consiste en encontrar la solución maximice o minimice el valor dePor ejemplo, el problema del viajante no solamente exige determinar si una gráfica tiene o no un ciclo hamiltoniano, sino que además pregunta cuál es el ciclo hamiltoniano más corto.En este caso el problema de búsqueda subyacente es encontrar un ciclo hamiltoniano cualquiera y la función objetivo mide la distancia recorrida por ese ciclo.