Problema matemático
Un problema matemático consiste en buscar una determinada entidad matemática de entre un conjunto de entidades del mismo tipo que además satisfaga las llamadas condiciones del problema.
Formalmente todo problema puede reducirse a una terna
La resolución del problema es un procedimiento que determina cual es el único
Un ejemplo sencillo sería encontrar los números enteros que satisfacen la siguiente igualdad
, la condición es que se cumpla la anterior igualdad, y
Más en general, la resolución de una ecuación algebraica es un problema matemático planteado sobre un conjunto
que tiene estructura de cuerpo o anillo algebraico consistente en buscar elementos
Si sólo existe un elemento que cumpla la anterior igualdad, esto se puede reformular como un problema del tipo
, aunque normalmente el problema anterior admite más de una solución por lo que el problema matemático propiamente dicho es encontrar un conjunto de soluciones
, y por tanto cuando la solución no es única debemos resolver un problema de tipo
Otros problemas consisten en encontrar un procedimiento geométrico para trazar con regla y compás un circunferencia, ángulo, polígono o recta que cumpla ciertas condiciones.
Un problema muy sencillo es el de fijados 3 puntos no alinealdos en el plano euclídeo, encontrar una circunferencia que pase por todos ellos.
es el conjunto de todos los círculos posibles del plano euclídeo.
y se encuentra su recta mediatriz M2 el centro O de la circunferencia buscada
Por ejemplo: Para fabricar un recipientes cilíndricos metálicos de chapa, encontrar la relación entre la altura: h y el radio: r necesaria para que pueda contener un volumen V prefijado (por ejemplo V = 400 ml) usando la menor cantidad de chapa posible.
Llamemos S a la superficie total de chapa, que será directamente proporcional a la cantidad de chapa empleada en el recipiente, llamemos al radio del recipiente r y a su altura h. Entonces tenemos que su superficie: S y su volumen: V vienen dados por:
Si substituimos despejamos h de la primera ecuación y la substituimos en la segunda tenemos que la cantidad de chapa necesaria para construir un recipiente cilíndrico de volumen V y radio r viene dada por: Para encontrar el mínimo podemos usar el cálculo elemental que nos dice que el valor de r para el cual la derivada de la anterior función se anula es el valor que minimiza la función: Con lo que queda definido r para un V dado, si el volumen no se conoce:
Es decir, que de todos los recipientes cilíndricos de chapa de igual volumen el que menos chapa necesita para ser fabricado es uno en que la altura del mismo sea justo dos veces el radio.
Muchos problemas prácticos pueden resolverse mediante algoritmos.
Sin embargo, para algunos otros problemas interesantes ha podido probarse que no existe un algoritmo que mediante un conjunto finito de pasos encuentre una solución (o alternativamente muestre que el conjunto de soluciones es vacío).
Si bien los matemáticos generalmente los estudian por su interés teórico, al hacerlo, se pueden obtener resultados que encuentran aplicación fuera del ámbito de las matemáticas.
La física teórica ha sido históricamente una rica fuente de inspiración matemática.
Se ha demostrado rigurosamente que algunos problemas abstractos son irresolubles, como la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo usando solo las construcciones de regla y compás de la geometría clásica, o la resolución mediante radicales de la ecuación general quíntica.
[2] Las definiciones formales y las deducciones verificables por computadora son absolutamente centrales para la ciencia matemática.
Los problemas matemáticos informales del "mundo real" son preguntas, normalmente sencillas, relacionadas con un entorno concreto, como "Adán tiene cinco manzanas y le da tres a Juan.
Tales preguntas suelen ser más difíciles de resolver que los ejercicios matemáticos regulares como "5 − 3", incluso si uno conoce las matemáticas requeridas para resolver el problema.
Esto implica abstracción de los detalles del problema, y el modelador debe tener cuidado de no perder aspectos esenciales al traducir el problema original en uno matemático.
(Si se usan problemas similares año tras año, los maestros y los estudiantes aprenderán lo que son, los estudiantes los practicarán: los problemas se convierten en ejercicios, y la prueba ya no evalúa la resolución de problemas).
[3]El mismo problema fue enfrentado por Sylvestre Lacroix casi dos siglos antes: [...] Es necesario variar las preguntas que los estudiantes pueden comunicar entre sí.
Por ejemplo, describiendo los preparativos para el Cambridge Mathematical Tripos en el siglo XIX, Andrew Warwick escribió: [...] muchas familias de los problemas estándar de entonces habían enfrentadp originalmente las habilidades de los más grandes matemáticos del siglo XVIII.
