Teoría de ecuaciones

[Nota 4]​ Un número que verifica la ecuación se llama raíz o solución.

[2]​ Su estudio remonta a los primeros textos matemáticos conocidos;[Nota 5]​ este primer acercamiento consistía en resolver ecuaciones en las que el grado del polinomio es estrictamente menor que cinco.

A partir de la Edad Moderna, el polinomio es considerado también una función.

Una perspectiva adoptada en el siglo XX, consiste en estudiar el menor conjunto de números estable por las cuatro operaciones y que contiene a la vez coeficientes y raíces de una ecuación dada.

Ofrece una condición necesaria y suficiente para saber si una ecuación polinómica se resuelve por las técnicas descritas anteriormente, en caso contrario, deben aplicarse aproximaciones desarrolladas en análisis matemático.

En tanto, los babilonios estudiaron en particular problemas que corresponden a ecuaciones de segundo grado.

Se puede leer, sobre una tablilla de arcilla: «He sumado 7 veces el lado de mi cuadrado y 11 veces el área: 6 15»,[Nota 7]​ para describir, en la numeración sexagesimal utilizada por los babilonios, la ecuación

Los egipcios resolvieron la ecuación del primer grado por tanteo, con la ayuda del método de la falsa posición y los babilonios disponían de algoritmos sin otra justificación que la empírica, es decir que finalmente el valor encontrado es la solución buscada.

Fue desarrollada de forma independiente por tres culturas matemáticas: Grecia, la civilización árabe y la India.

Diofanto, un matemático del siglo III, formaliza la «arithme», una letra que él define de la siguiente manera:[6]​ «El número que posee una cantidad indeterminada de unidades se llamará arithme, y su marca distintiva es

R. Rashed comenta al respecto: «[Con Al-Khwarazmí] la noción base es la noción de ecuación, que puede cubrir una clase infinita de problemas, geométricos o aritméticos: la unidad ya no es el objeto sino que lo es la operación misma».

[10]​ La misma idea también está presente en el matemático indio Bhaskara II y queda recogida en su obra titulada Bījagaṇita.

Dahan-Dalmedico y Peiffer precisan que el trabajo de Al Khwarazmí se puede concretar en el nacimiento de una teoría referente a las ecuaciones cuadráticas, así como en el conjunto de los números positivos (casi siempre racionales), teoría que implica todavía algunas lagunas.

Al Khwarazmí desarrolló un proceso más sistemático, el objeto de su tratado es ofrecer un método que permita encontrar con certeza una solución de la ecuación, si ésta existe.

Los progresos en teoría de ecuaciones no se detienen con Al Khwarazmí.

[13]​ La concepción inicial del número en los árabes es heredada de los griegos y se limita a las fracciones.

Los tamaños inconmensurables, que corresponden a nuestros irracionales, son proporciones entre longitudes pero no poseen el estatus de número.

Al Khwarazmí los denominó «gidr asamm», que significa raíz muda o ciega.

[13]​ Dos siglos más tarde, para matemáticos como Omar Khayyam, las fracciones y las proporciones inconmensurables son tratadas en los cálculos de la misma manera.

As-Samawal logró desarrollar con ello una representación cercana al concepto moderno de polinomio formal.

Este enfoque permite a Euclides resolver problemas de primer y segundo grado.

[16]​ Dos siglos más tarde, aprovechando los progresos tanto algebraicos como geométricos, Nasser-ad-Din at-tosa desarrolló diversas herramientas en el marco de la ecuación cúbica.

Por la expresión «exacta», se entiende una forma diferente de una sucesión que converge hacia la raíz.

La competición áspera que reinó entre los diferentes matemáticos estimuló a los candidatos y promovieron la aparición de ideas nuevas.

[Nota 8]​ Un cálculo algebraico en aquella época todavía debía quedar justificado por un soporte geométrico.

[19]​ Por ejemplo, aplicando identidades notables como:[20]​ Con estas aportaciones, se franquea una nueva etapa.

[21]​ Bombelli propuso un formalismo que admitía la existencia de números negativos e imaginarios.

Su influencia, comprobable por los comentarios de Steven o la correspondencia entre Leibnitz y Huygens, fue duradera.

Este formalismo permitió expresar los primeros resultados generales, en el sentido de que son independientes del grado del polinomio, como la relación entre los coeficientes y las raíces de un polinomio.

Gracias a Descartes, el álgebra, con la implementación de una referencia cartesiana, se convirtió en una máquina que permitió demostrar teoremas geométricos.