Teorema de las unidades de Dirichlet
El rango es positivo para todos los campos numéricos además de ℚ y los campos cuadráticos imaginarios, que tienen rango 0.
El tamaño de las unidades se mide en general mediante un determinante denominado regulador.
En principio, la base de las unidades puede calcularse de forma eficiente; aunque en la práctica los cálculos son bastante complicados cuando n es grande.
Para un campo numérico con al menos una incrustación real, la torsión debe ser solo {1,−1}.
Los campos totalmente reales son especiales con respecto a las unidades.
Si L/K es una extensión finita de campos numéricos con grado mayor que 1 y los grupos de unidades para los números enteros de L y K tienen el mismo rango, entonces K es totalmente real y L es una extensión cuadrática totalmente compleja.
Lo contrario también se mantiene (un ejemplo es K igual a los racionales y L igual a un campo cuadrático imaginario; ambos tienen rango de unidad 0).
Habrá r + 1 lugares arquimedianos de K, ya sean reales o complejos.
Esto implica que el valor absoluto R del determinante de la submatriz formado al eliminar una columna es independiente de la columna.
El número R se denomina regulador del campo numérico algebraico (no depende de la elección de los generadores ui).
La aplicación que relaciona una unidad u al vector con entradas
Por lo general, es mucho más fácil calcular el producto hR del número de clase h y el regulador usando la fórmula del número de clase, y la principal dificultad para calcular el número de clase de un campo numérico algebraico suele ser el cálculo del regulador.
Un regulador superior se refiere a la construcción de una función en un K-grupo algebraico con índice n > 1 que desempeña el mismo papel que el regulador clásico para el grupo de unidades, que es un grupo K1.
Tales reguladores superiores juegan un papel, por ejemplo, en las conjeturas de Beilinson, y se espera que intervengan en las evaluaciones de ciertas funciones L en valores enteros del argumento.
[6][7] Sea K un cuerpo de números algebraicos y para cada primo P de K por encima de algún primo racional fijo p, se denomina UP a las unidades locales en P; y sea U1,P el subgrupo de unidades principales en UP.
