Extensión simple

En la teoría de cuerpos (una rama del álgebra), una extensión simple es una extensión de cuerposde manera que L está generado por un solo elemento, al cual se lo denomina elemento primitivo.Dicho de otro modo, un elemento primitivo de una extensión de cuerpos L/K es un elemento ζ de L tal que o en otras palabras, L está generado por ζ sobre K. Esto significa que todo elemento de L puede ser escrito como cociente de dos polinomios en ζ con coeficientes en K. Si la extensión L/K es simple (es decir, si admite un elemento primitivo), entonces L puede ser una extensión finita de K (caso en el que ζ es un elemento algebraico de L sobre K), o en cambio L es isomorfo al cuerpo de funciones racionales sobre K en una indeterminada (en este caso ζ es un elemento trascendente de L sobre K).es exactamente el conjunto de los valores que se obtienen al evaluar enpuede ser algebraica o trascendente, dependiendo de sies un elemento algebraico o trascendente sobreSe deduce que toda extensión simple que sea algebraica es de grado finito.Recíprocamente, si la extensión L/K admite un elemento primitivo, entonces L puede ser una extensión finita de K, caso en el que ζ es un elemento algebraico de L sobre K, o en cambio L es isomorfo al cuerpo de funciones racionales sobre K en una indeterminada, en este caso ζ es un elemento trascendente de L sobre K. El teorema del elemento primitivo responde a la pregunta de qué extensiones finitas de cuerpos tienen elementos primitivos, es decir, son simples.Por ejemplo, no es obvio que si se junta al cuerpo Q de números racionales las raíces de los siguientes polinomios y llamadas α y β respectivamente, para obtener un cuerpo K = Q(α, β) de grado 4 sobre Q, donde K es Q(γ) para un elemento primitivo γ.De hecho, se puede ver que Las potencias de γi para 0 ≤ i ≤ 3 pueden ser expresadas como combinación lineal de 1, α, β y αβ a coeficientes enteros.Tomando dichas igualdades como un sistema lineal de ecuaciones, se puede resolver para α y β sobre Q(γ), la cual cosa implica que dicha elección de γ es en realidad un elemento primitivo en este ejemplo.En general, el teorema del elemento primitivo se enuncia de la siguiente forma: La extensión de cuerpo L/K es finita y tiene un elemento primitivo si y solo si hay un número finito de subextensiones de cuerpos F con K ⊆ F ⊆ L. Un importante corolario de dicho teorema afirma: Toda extensión separable finita L/K tiene un elemento primitivo.Dicho corolario es aplicable al ejemplo expuesto más arriba (y a muchos similares), ya que Q tiene característica 0 por lo que toda extensión finita sobre Q es separable.Para extensiones inseparables (o no separables), se puede afirmar lo siguiente: Si el grado de la extensión [L:K] es un número primo, entonces L/K tiene un elemento primitivo.Si el grado de la extensión no es un número primo y la extensión no es separable, se pueden encontrar contraejemplos.Por ejemplo, si K es Fp(T,U), el cuerpo de las funciones racionales con dos indeterminadas T y U sobre el cuerpo finito con p elementos, y L se obtiene a partir de K adjuntando una raíz pesima de T, y de U, entonces no existe ningún elemento primitivo de L sobre K. De hecho se puede ver que para cualquier α en L, el elemento αp pertenece a K. Además tenemos que [L:K] = p2 pero no existen elementos de L con grado p2 sobre K, como un elemento primitivo debería tener.