En matemática, si L es una extensión de cuerpos de K, entonces, un elemento a de L es llamado elemento trascendente de K, o simplemente trascendente sobre K, si no existe ningún polinomio g(x) con coeficientes en K tal que g(a)=0.
Si existen elementos en L que cumplan las propiedades anteriores se llaman se denominan elementos algebraicos sobre K. La extensión de cuerpos de estos elementos es C/Q, siendo C el cuerpo de los números complejos y Q el cuerpo de los números racionales.
La teoría de cuerpos es una rama de la teoría de anillos, que a su vez es una rama del álgebra abstracta.
Uno de las principales campos de estudio de la teoría de cuerpos es el de decidir si un polinomio cuyos coeficientes están en el cuerpo tiene sus raíces en el cuerpo (es decir, si al resolver la ecuación polinómica, las soluciones pertenecen o no al cuerpo).
Cuando un cuerpo está incluido en otro cuerpo puede ocurrir que los elementos del mayor sean raíces de polinomios con coeficientes en el menor — en cuyo caso se dice que los elementos son algebraicos — o que haya elementos que no son raíces de ninguno de esos polinomios.
En este último caso se dice que dichos elementos son trascendentes.
(La siguiente información es de carácter técnico, y puede resultar ardua e incomprensible para el no iniciado en el álgebra abstracta, pero es esencial para comprender el desarrollo de esta rama de la matemática.
Por desgracia no puede exponerse de una manera más llana sin perder rigor, lo que haría que dejara de ser útil.)
de forma que
es raíz del polinomio
{\displaystyle K[x]}
(todo polinomio de grado 1 es irreducible en cualquier anillo de polinomios).
, entonces realizamos la siguiente construcción: Ahora sólo pueden darse dos situaciones: Por ser
homomorfismo entre cuerpos, es monomorfismo, luego
Por el primer teorema de isomorfía, Así pues,
, que contiene a
es la mínima extensión de
que contiene a
, se concluye que
es sobreyectiva, y como era monomorfismo, es isomorfismo.
{\displaystyle K(x)}
) se dirá que el elemento
En ese caso no existirá ningún polinomio con coeficientes en
que tenga por raíz a
p ( α ) ≠ 0