Un cuerpo es un conjunto en el que las operaciones suma y producto están definidas y «funcionan bien».
Cuando se construye una extensión de un cuerpo, se busca un conjunto más grande en el que las operaciones suma y producto sigan funcionando bien y además se puedan resolver las ecuaciones polinómicas.
es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares
Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en
, la tercera se debe a que el producto es asociativo en
, y la cuarta se debe a que
Este conjunto es un cuerpo, es extensión de
Se le denomina extensión generada por α sobre
, es decir, el anillo de polinomios con coeficientes en
Vamos a ver que cumple todos los requisitos: es un cuerpo, una extensión de
y contiene un elemento que es raíz de
(pues su conjunto imagen será un subcuerpo de
, la clase de equivalencia del polinomio
(por definición de anillo cociente), tenemos que para cualquier polinomio
Esta aplicación es de hecho un isomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina homomorfismo evaluación.
se dice que es algebraica si todo elemento
que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e.,
por su coeficiente principal (aquel escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable
) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por
y se denomina polinomio mónico irreductible de
se dice que es trascendente si existe algún elemento
Además, no existirá ningún polinomio con coeficientes en
Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de
Se denomina grado de la extensión
el cuerpo de los racionales y L =
, el cuerpo de los racionales y L =
, el menor cuerpo que contiene a la vez
, claramente este es un morfismo suprayectivo, se sigue del primer teorema de isomorfismo que son campos isomorfos.
es 2, esto es así ya que 2 es el grado del polinomio mónico e irreducible que tiene a √2 como raíz:
es el grado del polinomio mónico e irreducible en