Infinito
Los conjuntos finitos tienen una propiedad "intuitiva" que los caracteriza: "dada una parte propia de los mismos, esta contiene un número de elementos menor que todo el conjunto".
Para verificar tal afirmación es necesario encontrar un subconjunto propio y construir una biyección entre ambos.
Los números ordinales sirven para notar una posición en un conjunto ordenado (primer, segundo, tercer elemento...).
La inclusión permite convertir a los ordinales en un conjunto bien ordenado (dos elementos distintos siempre se pueden comparar, y añadiendo la igualdad daría un orden total) entre estos conjuntos que se prefiere, por costumbre, escribir "<", lo que da las relaciones 0 < 1 < 2 < 3.
Y si el conjunto I no es finito, tampoco lo será a.
Diremos que un ordinal es finito si cada una de sus partes no vacías tiene un elemento máximo.
Para introducir los ordinales infinitos, es preciso dar ahora la definición exacta de un ordinal: Ya vimos que es el caso para los naturales: Por ejemplo, el conjunto 2 = {0, 1} admite 1= {0}, como elemento y por lo tanto también como subconjunto.
O sea, renombrando los elementos de un conjunto bien ordenado siempre obtenemos un ordinal.
Haciéndolo, siempre caemos en el mismo conjunto, construido al reunir todos los ordinales finitos, es decir los naturales.
Para visualizar los ordinales, resulta muy práctico representar cada uno por un punto de una sucesión creciente convergente, como por ejemplo un = 1 - 1/(n+1).
En el ejemplo, hay cuatro, y por lo tanto se trata de u4, lo que corresponde al ordinal 4.
Pero si elegimos a cualquier otro punto de la sucesión a su izquierda, ya no es el caso, lo cual prueba que w es el primer ordinal infinito.
Después de w llega w+1, w+2 ... que se representan añadiendo a la derecha uno dos o más puntos, inicialmente distantes, y luego más cercanos entre sí: El último punto dibujado corresponde a w+2.
De hecho la función x →x - 1 realiza un isomorfismo entre ellos (1+w tiene dos elementos llamados 0: 0A y 0B.
La multiplicación se define a partir de la adición como para los naturales.
Luego se puede definir wn, con n natural, y, tomando el límite, ww, tiene tantos elementos como la recta real.
Esta noción es por lo tanto distinta del ordinal, que caracteriza el lugar de un elemento en una sucesión.
Se dice que dos conjuntos tienen el mismo cardinal si existe una biyección entre ellos.
Como ya tenemos un surtido de conjuntos —los ordinales— veamos sus tamaños (o sea sus cardinales) respectivos.
No es ninguna sorpresa que los ordinales finitos también son cardinales: entre dos conjuntos con n y m elementos, m y n distintos, no puede haber biyección, por lo tanto tienen cardinales distintos.
están en biyección por la función: Se suele notar |A| el cardinal de A.
Un conjunto de números reales S es acotado superiormente si existe un número c (la cota) tal que c es mayor que todo elemento de S (Por ejemplo, si S={π ; 7 ;
Cuando un conjunto no es acotado, para cualquier número c es posible encontrar
También es utilizado en el Análisis matemático cuando se quiere expresar que los términos de una sucesión ordenada, o los valores que toma una función al tomar la variable dependiente valores cercanos a uno fijado previamente "diverge" ("tiende a infinito", o su límite es infinito).
para representar al límite que tiende a infinito y
Para recordar las reglas de límite se suele entonces acudir a las siguientes reglas nemotecnias: (aquí "x" representa un n.° real cualquiera) Las identidades anteriores son perfectamente formalizables en el análisis no estándar asociado a los números hiperreales.
El análisis no estándar amplia la teoría de los números reales.
En el seno del análisis no estándar se introduce un predicado nuevo st(·) y tres nuevos axiomas que describen el uso de dicho predicado.
Lo que no tiene límites, es aquello de lo cual no se puede negar nada, y por consiguiente, aquello que contiene todo, aquello fuera de lo cual no hay nada; y esta idea del Infinito, que es así la más afirmativa de todas, puesto que comprende o envuelve todas las afirmaciones particulares, cualesquiera que puedan ser, no se expresa por un término de forma negativa (in-finito) sino en razón misma de su indeterminación absoluta.
[cita requerida] Otra hipótesis defiende que el símbolo parece la representación gráfica del fenómeno conocido como analema solar.
