Análisis no estándar
El análisis no estándar[1][2][3] reformula el cálculo utilizando una noción lógicamente rigurosa de los números infinitesimales.
Los cuerpos ordenados que tienen elementos infinitesimales también se denominan no arquimedianos.
Su libro fundacional clásico sobre el tema Análisis no estándar fue publicado en 1966 y se ha seguido imprimiendo durante muchos años.
[8] En la página 88, Robinson escribe: Se deben abordar varios problemas técnicos para desarrollar un cálculo de infinitesimales.
Consúltese el artículo sobre números hiperrales para obtener una discusión sobre algunas de las ideas más relevantes.
En esta sección se describe uno de los enfoques más simples para definir un cuerpo hiperreal
Hay al menos tres puntos de vista para estudiar el análisis no estándar: histórico, pedagógico y técnico.
Gran parte del desarrollo más temprano del cálculo infinitesimal protagonizado por Newton y Leibniz se formuló utilizando expresiones como número infinitesimal o cantidad de fuga.
Como se señaló en el artículo sobre números hiperreales, estas formulaciones fueron ampliamente criticadas por George Berkeley y otros filósofos.
Fue un desafío desarrollar una teoría del análisis consistente usando infinitesimales y la primera persona en hacerlo de manera satisfactoria fue Abraham Robinson.
[6] En 1958 Curt Schmieden y Detlef Laugwitz publicaron un artículo "Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung"[9] ("Una extensión del cálculo infinitesimal") que proponía la construcción de un anillo que contiene infinitesimales.
Dos secuencias se consideraron equivalentes si diferían solo en un número finito de elementos.
Sin embargo, el anillo construido de esta manera contiene cero divisores y, por lo tanto, no puede ser un cuerpo.
H. Jerome Keisler, David Tall y otros educadores sostienen que el uso de infinitesimales es más intuitivo y más fácil de comprender por los estudiantes que la aproximación "épsilon-delta" para los conceptos analíticos.
[10] Este enfoque a veces puede proporcionar demostraciones de resultados más fáciles que la correspondiente formulación épsilon-delta.
Este enfoque simplificado también es más adecuado para matemáticos que no son especialistas en teoría o lógica de modelos.
En 2018 Abdeljalil Saghe propuso un enfoque explícito para construir el campo del análisis no estándar sin usar los ultrafiltros.
En el mismo año de 2018, Anggha Nugraha introdujo otro enfoque para crear lo que denominó análisis infinitesimal ingenuo.
El libro de Abraham Robinson "Análisis no estándar" se publicó en 1966.
Abraham Robinson y Allen Bernstein utilizaron un análisis no estándar para demostrar que cada aplicación lineal polinomialmente compacta en un espacio de Hilbert tiene un subespacio invariante.
Al leer una preimpresión del artículo de Bernstein y Robinson, Paul Halmos reinterpretó su demostración utilizando técnicas estándar.
Larry Manevitz y Shmuel Weinberger también utilizaron el análisis no estándar para probar un resultado en topología algebraica.
[23] Sin embargo, las contribuciones reales del análisis no estándar se encuentran en los conceptos y teoremas que utilizan el nuevo lenguaje extendido de la teoría de conjuntos no estándar.
Albeverio y otros[12] han dado una excelente introducción a esta área de investigación.
Como una aplicación para la educación matemática, H. Jerome Keisler escribió Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach.
La superestructura sobre los números reales incluye una gran cantidad de estructuras matemáticas: por ejemplo, contiene copias isomórficas de todos los espacios métricos separables y espacios vectoriales topológicos metrizables.
Prácticamente todas las matemáticas que le interesan a un analista se desarrollan dentro de V(R).
Una fórmula posee cuantificación acotada si y solo si los únicos cuantificadores que aparecen en la fórmula tienen un rango restringido sobre conjuntos, es decir, son todos de la forma: Por ejemplo, la fórmula tiene cuantificación limitada, la variable cuantificada universalmente x se extiende sobre A, la variable cuantificada existencialmente y se extiende sobre el conjunto de potencias de B.
Para cualquier r hiperreal limitado existe un único real estándar denotado como
Es posible mejorar la saturación permitiendo que se crucen colecciones de cardinalidad más alta.
