Base de entornos

n t ( x )

Una base de entornos o sistema fundamental de vecindades[1]​ en torno a

que determina su sistema de entornos.

guarda, intuitivamente, toda la información topológica del espacio cerca de

A menudo no es necesario trabajar con todos los entornos de un punto, y se toma para ello una base de entornos, que encierra la misma información.

Por ejemplo, para comprobar la continuidad de una aplicación

, basta comprobar que la preimagen de cualquier entorno básico de

También se pueden escoger bases de entornos que cumplan cierta propiedad especial, como ser todos abiertos o compactos.

Surgen así propiedades locales de los espacios topológicos como la compacidad local, la arco conexidad local o el primer axioma de numerabilidad.

El sistema de entornos no es sino una instancia del concepto más general de filtro.

Desde esta perspectiva, una base de entornos es una base del filtro de entornos.

, una base de entornos del punto es una familia

de manera que para cada entorno del punto, existe uno básico contenido.

n t ( x ) , ∃

El sistema entero de entornos se recupera a partir de la base de entornos:

n t ( x ) = {