En Topología (rama de las matemáticas) se emplean muchas topologías (colección de abiertos).
Una de las fundamentales y más empleadas es la topología usual.
Es un resultado conocido del Análisis Matemático que todas las normas sobre
son equivalentes, esto quiere decir que todas las métricas asociadas a normas de
inducen a la misma topología (colección de abiertos), es decir, que todas las normas sobre
dan lugar a los mismos abiertos.
El conjunto de estos abiertos es una topología y se le conoce como topología usual.
[1] Puntualizar que esto no es extensible a cualquier métrica, sino a las asociadas a las normas.
Concretamente se tiene que la topología usual sobre
es la topología inducida por la distancia usual de forma que
Al ser las bolas abiertas para esta distancia los intervalos abiertos y acotados, entonces, se da que en el espacio topológico
los abiertos son las uniones arbitrarias de intervalos
[2] Hay un resultado importante respecto a la topología usual.
Al inducir la topología usual sobre un conjunto finito se obtiene la topología discreta.
con Y el conjunto de los números naturales ℕ.
convergen a un único punto.
La demostración se basa en que, al ser inducida la topología usual por la distancia usual,
, se tiene para todo par de puntos x,y de
Y se sabe que en un espacio Hausdorff toda sucesión converge a un único punto.