Los números hiperreales son una extensión del conjunto de los números reales que permiten entre otros formalizar algunas operaciones con infinitésimos, y probar algunos resultados clásicos del análisis real de manera más sencilla.
Dicha axiomatización es una teoría no categórica y por tanto admite varios modelos no isomorfos, uno de ellos los números reales estándar y otro de ellos identificable con los hiperreales.
Además si se pretende evitar la teoría de modelos puede ampliarse la teoría de los números reales mediante un predicado abstracto (semánticamente interpretable como "x es un número real estándar") y tres axiomas adicionales que describen dicho predicado (estos predicados permiten caracterizar la diferencia entre un número real estándar y uno hiperreal no convencional).
El concepto de número hiperreal proviene del análisis no estándar, dominio que fue desarrollado en los años 1970 por Abraham Robinson, aunque tiene antecedentes en los trabajos de Wilhelmus Luxemburg en los años 1960 y Edwin Hewitt (1948).
Entre el renacimiento y el siglo XVIII se volvió a utilizar los infinitesimales y Gottfried Leibniz propuso una teoría, construida a partir de un número infinito «mayor que todos los enteros existentes».
Esta teoría no tenía fundamentos lógicos sólidos, pero permitía hacer los cálculos que necesitaban los físicos, sobre todo en las ecuaciones diferenciales.
Estos matemáticos desarrollaron un formalismo riguroso que permitía eliminar numerosas aporías y paradojas del análisis (ver por ejemplo 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·).
Se soñó en los siglos XIX y XX con inventar unas matemáticas que darían cabida a los añorados números infinitos (grandes o pequeños).
La tentación era siempre añadir estas cantidades mal definidas al conjunto de los números reales, pero el problema era que se tenía entonces que averiguar si los teoremas vigentes en los reales eran o no válidos para los hiperreales.
La representación intuitiva de esta sección ilustra las propiedades de los sistemas formalmente construibles por otros métodos y a los que se podrían llegar generalizando la adición directa.
En la primera línea, los números finitos no se pueden distinguir porque están todos infinitamente próximos al cero, como pegados.
En efecto Cantor, que inventó (en Occidente) la noción de número infinito solo se interesó en los enteros, mientras que el análisis no estándar se ocupa de los reales.
Nótese que este conjunto contiene a todos los números reales ordinarios
El conjunto de los números reales junto con sus mónadas satisface la relación:
Si se modifican ligeramente los axiomas o se introducen algunos símbolos nuevos en el alfabeto básico del lenguaje formal original puede obtenerse un modelo que incluya números con las propiedades tradicionalmente atribuibles a los números infinitesimales.
Concretamente, A. Robinson inventó un nuevo predicado unario: "estándar" y de ahí se presenta dos casos: un número x es estándar o no lo es, en relación con esto, es muy importante la siguiente distinción entre propiedad interna y externa: Luego se impuso tres condiciones a este predicado (llamadas transferencia, idealización y estandarización) para asegurarse de la existencia de nuevos números, no estándares, con las propiedades adecuadas, dignas de infinitesimales e infinitos, más concretamente se formuló la propiedad de transferencia.
Sabemos que P (x) es siempre cierta en los reales usuales (para y basta con tomar x/2).
En otras palabras, existe un número distinto de cero pero inferior a cualquier real positivo.
Este número es por definición un infinitesimal, y se denota su naturaleza así:
Ahora considérese el conjunto Σ de sentencias expresables en dicho lenguaje dado por:
que son válidas en el modelo de los números reales ordinarios.
es satisfactible sin más que asignar a la variable x1 un valor b suficientemente alto dentro de
(el modelo estándar) dada la finitud del subconjunto siempre es posible satisfacer esta condición:
La fórmula no estándar resulta mucho más intuitiva y práctica.
En general, los números hiperreales permiten suprimir muchos cuantificadores, es decir bajar la complejidad de las fórmulas.
Ahora, por definición cualquier infinitesimal es inferior a α y ε que son estándares estrictamente positivos.
f(x) Acabamos de probar que (1') implica (2): La continuidad en todo
La continuidad uniforme sobre el intervalo I = R se expresa así: expresión en análisis no estándar: La única diferencia entre (3) y (5) es que en la continuidad uniforme x no tiene que ser estándar.
hacen que no se trata de una fórmula estándar.
Sin embargo, en general los hiperreales no pueden ser encajados siempre en un cuerpo de números superreales y tampoco a la inversa.