Los números surreales tienen estructura de cuerpo ordenado, lo que significa que sobre ellos están definidas las cuatro operaciones aritméticas básicas (adición, substracción, multiplicación y división) y que estas se comportan según lo esperado.El inverso multiplicativo de un número infinito es un infinitesimal no nulo, y vice-versa.Fueron inicialmente propuestos por John H. Conway en 1970, y más tarde desarrollados por Donald Knuth en su libro de 1974 Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness.Posteriormente, se han dado otras formalizaciones diferentes más convenientes para algunos propósitos.Nótese que no existe un único cuerpo de números superreales sino toda una clase cuerpos algebraicos ordenados que satisfacen son diferentes tipos de números superreales.Esto contrasta con los números hiperreales y surreales que son cuerpos ordenados, únicos salvo isomorfismo.Además los surreales, no son un conjunto en el sentido de la teoría de conjuntos ZFC sino una clase propia, ya que por ejemplo los números surreales incluyen como subclase a la clase de todos los números ordinales, que tampoco es un conjunto en el sentido de ZFC.La lógica de los números surreales se basa en pares ordenados de conjuntos, el conjunto izquierdo (, que significa que los elementos del conjunto derecho no son menores o iguales a los del conjunto izquierdo., este es el primer número surreal, y se puede escribir como 0.Teniendo esto se pueden empezar a plantear los siguientes números surreales:Los surreales comparten muchas propiedades con los reales, incluidas las operaciones aritméticas habituales (suma, resta, multiplicación y división); como tales, forman un cuerpo ordenado.[Si se formulan en la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG), los números surreales son un campo ordenado universal en el sentido de que todos los demás campos ordenados, como los racionales, los reales, las funciones racionales o el cuerpo de Levi-Civita, por citar ejemplos concretos.[2] Los surreales también contienen todos los números ordinales transfinitos; la aritmética sobre ellos viene dada por las operaciones naturales.
Árbol que ilustra la construcción de los números surreales. Los surreales completos se obtienen si se realiza el proceso de ramificación anterior infinitas veces.
