Número ordinal (teoría de conjuntos)
De este modo, los ordinales clasifican todos los posibles conjuntos bien ordenados.
Los ordinales finitos (así como los cardinales finitos) son los números naturales 0, 1, 2,..., puesto que dos órdenes totales de un conjunto finito son isomorfos en cuanto al orden.
Al primer ordinal infinito se le denota ω.
En el caso infinito, los ordinales ofrecen una distinción más fina que los cardinales, que sólo representan la cantidad de elementos.
afirmaba que esta descansa sobre «el principio de agregar una unidad a un número ya formado y disponible».
A este principio, que Cantor denominó "primer principio de generación", se añadía la posibilidad de considerar un nuevo número, ω, mayor que todos los números naturales (que por supuesto no es ninguno de ellos), y aplicar de nuevo el primer principio
En resumen, Cantor introducía el "segundo principio de generación", el cual
Usando esta sucesión de números transfinitos, Cantor pudo estudiar el concepto de número ordinal.
Un número natural puede utilizarse para representar la posición dentro de una sucesión ordenada: 1.º, 2.º, 3.º,... Cantor descubrió que cualquier sucesión ordenada, finita o infinita, está «contenida» en la sucesión de números transfinitos (concretamente, cualquier sucesión bien ordenada).
Un conjunto bien ordenado es un conjunto con una relación de orden entre sus elementos que verifica que dada cualquier subcolección no vacía de sus elementos, esta posee un elemento mínimo.
Un ordinal es un objeto matemático que clasifica todos los distintos conjuntos bien ordenados posibles.
Por supuesto, ha de evitarse la posibilidad de clasificar con ordinales diferentes dos conjuntos bien ordenados distintos que en el fondo constituyan un «reetiquetado» el uno del otro.
El único cambio es que al primer elemento se le llama «0» o «5», al segundo se le llama «1» o «0» , etc.
Sin embargo, si comparamos los números naturales ordenados como sigue:
esto sí representa un cambio esencial, puesto que esta ordenación difiere en un hecho fundamental: a diferencia de las primeras, posee un elemento maximal.
Este es el enfoque que se tomó en los Principia Mathematica.
Está definición ha de ser abandonada en ZF y demás sistemas axiomáticos relacionados, puesto que dichas clases de equivalencia son demasiado grandes para formar un conjunto.
La definición estándar, sugerida por John von Neumann es:[2] Un conjunto α se dice un ordinal si: Esto se traduce en: La construcción estándar de los números naturales en teoría de conjuntos asegura que estos son ordinales.
Los ordinales diferentes de cero se dividen en dos clases bien diferenciadas: Por ejemplo, todos los números naturales mayores que cero, , son ordinales sucesores.
Los números ordinales poseen una propiedad similar al principio de inducción de los números naturales.
Si una colección de ordinales incluye al 0, y a cualquier ordinal siempre que incluya a sus precedecesores, entonces dicha colección es On, esto es, contiene todos los ordinales.
Este argumento puede refinarse en el llamado principio de inducción transfinita, separando en casos según el tipo de ordinal: Dada una fórmula φ(α), si se cumple: entonces la fórmula es cierta para cualquier ordinal.
donde λ se refiere a un ordinal límite.
Una aplicación importante de este principio es la recursión transfinita, que permite definir una función sobre los ordinales, especificando la imagen de un ordinal a partir de las imágenes de sus predecesores: Sean X un conjunto y G y H funciones definidas sobre los conjuntos.
Estas operaciones extienden la aritmética de los números naturales.
