Axioma de regularidad

En teoría de conjuntos, el axioma de regularidad o axioma de fundación es un axioma que postula que ciertos conjuntos «patológicos», como por ejemplo un conjunto que se contenga a sí mismo como elemento, no pueden existir.[1]​ La manera en la que se enuncia el axioma de regularidad es asegurando que cada conjunto posee un elemento que es disjunto con él: Axioma de regularidadUna manera equivalente de enunciar el axioma de regularidad es afirmando que todos los conjuntos son regulares, es decir, que la relación de pertenencia ∈ vista como un orden parcial tiene un elemento mínimo en todos los conjuntos.Se tiene entonces el siguiente teorema: Todo conjunto regular está en algún Rα.Por esto, el axioma de regularidad se denota usualmente como «V = R», es decir, la clase universal (de la totalidad de conjuntos) y la clase R de los conjuntos regulares (la unión de todos los Rα) son idénticas.Puede clasificarse entonces cada conjunto regular en algún Rα: El rango de un conjunto regular x es el mínimo ordinal α tal que x ∈ Rα+1.De modo similar, puede construirse un modelo del resto de ZF en el que aparezcan conjuntos del tipo , luego es imposible probar la regularidad de todos los conjuntos, y asumir V ≠ R también es consistente.