Aritmética ordinal
En teoría de conjuntos, la aritmética ordinal describe tres operaciones de la aritmética —suma, multiplicación y exponenciación— aplicadas a los números ordinales.
Este conjunto está bien ordenado, y su ordinal correspondiente es α + β.
Esta definición es compatible con la definición por recursión transfinita: La suma de ordinales α + () : On → On verifica: Esta suma ordinal es asociativa y con elemento neutro (α + 0 = 0 + α = α), pero no es conmutativa.
Sin embargo, en ω + 1, se considera el ordinal isomorfo a donde el nuevo elemento que se añade es mayor que el resto, y en ω no hay elemento maximal.
De nuevo, esta definición es compatible con la definición por recursión transfinita: El producto de ordinales α · () : On → On verifica: El producto de ordinales es asociativo, con elemento neutro (α·1 = 1·α = α) y elemento absorbente (α·0 = 0·α = 0), pero de nuevo no es conmutativa: 2·ω = ω ≠ ω·2 = ω + ω. donde las «copias» van «emparejadas».
La exponenciación de números ordinales se define de manera sencilla mediante recursión transfinita: El ordinal αβ (con α ≠ 0) viene dado por: Esta definición es equivalente a otra en términos de conjuntos bien ordenables: Sean A y B conjuntos bien ordenables con tipo de orden α y β respectivamente.
Sea BA el conjunto de funciones de B en A de soporte finito: donde a0 es el elemento mínimo de A, y considérese BA ordenado según Entonces BA está bien ordenado y su ordinal es αβ.
La exponenciación ordinal verifica varias de las propiedades de la exponeciación ordinaria: La exponenciación ordinal es muy diferente a la cardinal.
Por ejemplo, 2ω = ω es numerable (a diferencia de 2ℵ0).
La exponenciación ordinal de números naturales coincide con la noción habitual de exponenciación.
Pero dicha sucesión no tiene máximo dentro de los números naturales, luego 2ω no puede ser ningún número natural.
