En 1827, el año en que murió su madre, su padre obtuvo un puesto fijo en Paderborn para que Karl pudiera asistir allí al "Akademisches Gymnasium" (hoy Theodorianum) donde siendo estudiante comenzó su interés por las matemáticas.
Tuvo que trabajar como contable para mejorar la economía familiar, pero siempre sacaba buenas notas y leía la revista alemana de matemáticas Crelles Journal.
Resolvió este conflicto prestando poca atención a su carrera universitaria, estudiando matemáticas en privado.
A partir de 1836 fue miembro del Cuerpo Sajonia Bonn, en el que, según la descripción de Felix Klein, estaba un poco demasiado absorto.
[2][3] Por el camino, sin embargo, leyó obras de Pierre-Simon Laplace, Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacob Jacobi, que fomentaron su interés por las matemáticas.
Estudió la teoría de las funciones elípticas con Christoph Gudermann, que estaba muy impresionado por Weierstrass.
Desde Pascua de 1843 trabajó en Deutsch Krone en Prusia Occidental y desde 1848 en Braunsberg en el Lyceum Hosianum.
Además de matemáticas, también enseñó otras asignaturas como física, botánica y gimnasia.
Esta última asignatura tenía una relación especial: cuando en 1844 se introdujeron las clases de gimnasia en la Deutsch-Krone, Weierstrass era el único profesor de gimnasia adecuado.
En su juventud había practicado gimnasia y conocía el libro de Carl Euler Die deutsche Turnkunst.
Como resultado, ese mismo año recibió el doctorado honoris causa de la Universidad Albertus de Königsberg, y los destacados matemáticos berlineses Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Ernst Eduard Kummer se esforzaron por atraerle a Berlín.
A partir de 1856 enseñó matemáticas en el Königliches Gewerbeinstitut (integrado en la Technische Hochschule Berlin en 1879), pero ese mismo año se convirtió en profesor de la Friedrich-Wilhelms-Universität Berlin, al tiempo que se hacían intensos esfuerzos por reclutarlo para Austria.
A partir de 1850 Weierstrass sufrió un largo periodo de enfermedad, pero pudo publicar documentos que le llevaron a la fama y la distinción.
En 1856 consiguió una plaza en el Gewerbeinstitut, la que más tarde se convertiría en la Universidad Técnica de Berlín.
En 1864 pasó a ser profesor de la Universidad Friedrich-Wilhelms en Berlín, institución que más tarde se transformó en la Universidad Humboldt de Berlín.
Weierstrass, que nunca se casó, tuvo una relación especial con su alumna rusa Sofia Kovalévskaya, a quien enseñó en privado desde 1870 porque ella, al ser una mujer, no recibió la admisión a la universidad.
Utilizó su influencia para que ella pudiera doctorarse en Gotinga en 1874[4] y ocupar un puesto como profesora privada en Estocolmo en 1884.
Allí también trabajó uno de los alumnos más importantes de Weierstrass, Gösta Mittag-Leffler, quien más tarde desempeñó un papel destacado a nivel internacional en el análisis.
Weierstrass mantuvo correspondencia constante con Sofia Kowalewskaja hasta su muerte en 1891.
Se realizaron dos pinturas con motivo de su 80 cumpleaños: uno de Rudolf von Voigtländer (en honor del cual se creó el conocido heliograbado realizado ) y el otro por el pintor, artista gráfico y escultor Conrad Fehr (1854-1933).
Aunque estuvo marcado por el sufrimiento físico, respondió a los discursos pronunciados de manera rápida y adecuada.
Además de sus prolíficas investigaciones cabe señalar que fue profesor de cátedra en la Universidad de Berlín, en la que tuvo entre sus discípulos a Georg Cantor, Ferdinand Georg Frobenius, Wilhelm Killing, Leo Königsberger, Carl Runge, Sofia Kovalévskaya y Edmund Husserl.
Aunque Bolzano había desarrollado una definición razonablemente rigurosa de límite ya en 1817 (y posiblemente incluso antes) su trabajo permaneció desconocido para la mayor parte de la comunidad matemática hasta años más tarde, y muchos matemáticos sólo tenían definiciones vagas de límites y continuidad de funciones.
Utilizando esta definición, demostró el teorema del valor intermedio.
Weierstrass también realizó avances en el campo del cálculo de variaciones.
También ayudó a idear la condición de Weierstrass-Erdmann, que da condiciones suficientes para que un extremo tenga una esquina a lo largo de un extremo dado y permite encontrar una curva minimizadora para una integral dada.