Teorema de Weierstrass-Casorati
Recibe su nombre de Karl Weierstraß y Felice Casorati.
El teorema de Casorati–Weierstraß entonces establece que: Si V es cualquier entorno de z0 contenido en U, entonces f(V \ {z0}) es denso en C. Esto puede decirse del siguiente modo: Para todo ε > 0, δ >0, y todo número complejo w, existe otro complejo z en U con |z − z0| < δ y |f(z) − w| < ε .
O en términos más descriptivos: f es arbitrariamente cercano a cualquier complejo en el entorno de z0.
Esta forma del teorema se aplica solo si f es meromorfa en U \ {z0}.
El teorema es considerablemente reforzado por el gran teorema de Picard que establece que f asume cualquier valor complejo con una posible excepción.
Empleando un cambio de variable a coordenadas polares
la función, ƒ(z) = e1/z toma la forma: Tomando el valor absoluto a ambos lados: Entonces para valores θ tales que cos θ > 0, tenemos que
Consideremos qué ocurre cuando z toma valores en un círculo de diámetro 1/R tangente al eje imaginario.
Este círculo viene dado por r = (1/R) cos θ, luego, y Entonces,
A continuación se presenta una pequeña demostración del teorema: Sea f una función meromorfa en un entorno local V \ {z0}, y sea z0 una singularidad esencial.
Supongamos por reducción al absurdo que existe un b al cual la función no se acerca indefinidadmente; es decir, supongamos que existe un cierto complejo b y un ε > 0 tal que |f(z) − b| ≥ ε para todo z en V perteneciente al dominio de f .
