En análisis complejo y en análisis real, dos ramas de las matemáticas, el teorema de la identidad da una condición suficiente para asegurar la igualdad de funciones analíticas (es decir, que coinciden localmente con sus series de Taylor) en dominios (conjuntos abiertos conexos).
en un conjunto abierto y conexo
que tiene un punto de acumulación, entonces deben coincidir en todo el dominio
[1] Así, una función analítica queda unívocamente determinada por sus valores en cualquier abierto de
, por pequeño que sea, pues tiene puntos de acumulación, o incluso por un subconjunto contable de
, siempre y cuando este contenga una sucesión convergente a un punto de
Informalmente, el teorema se suele resumir diciendo que las funciones analíticas son "rígidas", en oposición a, por ejemplo, las funciones continuas, que son más "flexibles", pues no basta un conjunto "tan pequeño" de puntos para determinarlas.
El teorema tiene especial importancia en el contexto del análisis complejo porque las funciones holomorfas (el equivalente complejo de las funciones derivables) son inmediatamente analíticas (ver la demostración de esto aquí).
Así, toda función holomorfa en un conjunto abierto conexo queda unívocamente determinada por la imagen de un conjunto con un punto de acumulación.
El resultado análogo en análisis real no es cierto, ni siquiera para funciones infinitamente derivables, pues estas no tienen por qué coincidir localmente con sus series de Taylor (es decir, no tienen por qué ser analíticas) y no se les puede aplicar el teorema de la identidad.
es la unión de dos abiertos disjuntos (luego no conexo),
Ambas funciones son analíticas (porque son constantes en cada abierto) y coinciden en un conjunto (el primer abierto) que tiene puntos de acumulación.
funciones analíticas definidas en un conjunto abierto y conexo
Basta demostrar el caso en el que una de las funciones (digamos
El caso general se deduce como sigue: tomamos la función
coincide por hipótesis con la función nula, por lo que, para cada
es idénticamente nula en un disco suficientemente pequeño que contiene el punto de acumulación
no fuera idénticamente nula en el disco.
Entonces tendría que existir el menor entero
Pero ahora, tomando la sucesión de puntos
Esto es una contradicción, y proviene de suponer que
tiene interior no vacío (todo el disco
, y el interior de un disco es no vacío).
el interior (no vacío) de
; por ser el interior de un conjunto es abierto.
es cerrado, habremos acabado: en efecto, sería un subconjunto clopen del conjunto conexo
y, como tal, sólo podría ser el vacío o el total.
, y esa es la definición de
se anula en todo un disco alrededor de
Así, hay todo un disco alrededor de