Singularidad esencial

El punto a se denomina singularidad esencial de la función f si la singularidad no es ni un polo ni evitable.

Sea a un número complejo, supongamos que f(z) no está definida en a pero es una función analítica en un entorno U del plano complejo, tal que cada entorno abierto de a posee intersección no vacía con U.

Si ambos Si Análogamente si Si ni Otro modo de caracterizar singularidades esenciales es mediante un desarrollo en serie de Laurent en torno al punto a; si este desarrollo posee infinitos términos de potencias de orden negativo entonces a es una singularidad esencial.

El comportamiento de funciones meromorfas en torno a singularidades esenciales viene descrito por el teorema de Weierstrass-Casorati y más fuertemente por el gran teorema de Picard.

El último de éstos establece que en cualquier entorno de una singularidad esencial a, la función f toma todos los posibles valores, excepto quizá uno, un número infinito de veces.

Gráfica de la función exp(1/ z ), centrada en la singularidad esencial en z = 0. La coloración representa el argumento complejo y la luminosidad el valor absoluto. Esta imagen muestra como acercándose a la singularidad desde diferentes direcciones se obtienen diferentes comportamientos (al contrario que un polo que sería uniformemente blanco).