Teorema de Picard

Este teorema es un fortalecimiento significativo del teorema de Liouville que establece que la imagen de una función no constante completa debe ser ilimitada.

Un resultado del Gran Teorema de Picard es que cualquier función completa, no polinomial, alcanza todos los valores complejos posibles con una frecuencia infinita, con una excepción como máximo.

El gran teorema de Picard es cierto en una forma ligeramente más general que también se aplica a las funciones meromorfas:Gran Teorema Picard (versión meromórfica): Si M es una superficie de Riemann, w un punto en M, P1(C) = C ∪ {∞} denota la esfera de Riemann y f : M\{w} → P1(C) es una función holomorfa con singularidad esencial en w, luego en cualquier subconjunto abierto de M que contenga w, la función f (z) alcanza todos, a lo sumo, dos puntos de P1 (C) infinitamente a menudo.Ejemplo: La función meromorfa f(z) = 1/(1 − e1/z) tiene una singularidad esencial en z = 0 y alcanza el valor ∞ infinitamente a menudo en cualquier vecindario de 0; sin embargo no alcanza los valores 0 o 1.

Con esta generalización, el pequeño teorema de Picard se desprende del gran teorema de Picard porque una función completa es un polinomio o tiene una singularidad esencial en el infinito.

Luego los diferenciales se unen a una forma 1 meromorfa en D.Está claro que los diferenciales se unen a una forma d holomorfa g dz en D\ {0}.

El gráfico de la función exp (1⁄z), centrado en la singularidad esencial en z = 0. El tono de un punto z representa el argumento de exp (1⁄z), la luminancia representa su valor absoluto. Esta gráfica muestra que arbitrariamente cerca de la singularidad, se alcanzan todos los valores distintos de cero.