Función elíptica

En análisis complejo, una función elíptica es, en términos generales, una función definida sobre el plano complejo y periódica en ambas direcciones.Las funciones elípticas pueden ser vistas como generalizaciones de las funciones trigonométricas (las cuales únicamente tienen la periodicidad en una dirección, paralela a la recta real).para la que existen dos números complejos no nuloses cómoda y cualquier función elíptica puede ser expresada a partir de estas.Las funciones elípticas introducidas por Carl Gustav Jakob Jacobi, y la función auxiliar theta (no doble periódica), son más complicadas pero ambas importantes para la historia y para la teoría general.Cualquier número ω tal que f(z + ω) = f(z) para toda z de C se le llama period de f. Si dos periodos a y b son tales que cualquier otro periodo ω puede ser escrito como ω = ma + nb con m y n enteros , entonces a y b se les llama periodos fundamentales.Toda función elíptica tiene un par fundamental de períodos, aunque este par no es único, como se describe más adelante.Si a y b son periodos fundamentales que describen un retículo, entonces exactamente el mismo retículo puede ser obtenido por los periodos fundamentales a' y b' donde a' = p a + q b y b' = r a + s b donde p, q, r y s son enteros que satisfacen p s − q r = 1.tiene determinante unidad, por lo que pertenece al grupo modular.En otras palabras, si a y b son periodos fundamentales de una función elíptica, entonces también lo son a' y b' .Moviendo dicho paralelogramo múltiples de a y b obtenemos una copia del paralelogramo, y la función f se comporta idénticamente sobre todas esas copias, debido a esta periodicidad.A no ser que la función elíptica sea constante, todo paralelogramo fundamental tiene al menos un polo como consecuencia del teorema de Liouville.La suma de los residuos de los polos en cualquier paralelogramos fundamental es igual a cero, en particular, ninguna función elíptica puede tener orden uno.El conjunto de todas las funciones elípticas con el mismo periodo fundamental forman un cuerpo.