Función periódica

En matemáticas, una función es periódica si verifica la condiciónse llama periodo de la función.Generalmente, se llama periodo fundamental al menor número real positivo T que satisface la condición.Las funciones trigonométricas son ejemplos sencillos de una función periódica, que en combinaciones adecuadas se emplean en el análisis armónico.[1]​ De la misma manera, pero en un contexto físico, las ondas periódicas son aquellas ondas que muestran periodicidad respecto del tiempo, es decir, describen ciclos repetitivos.Toda onda periódica es, por definición, una onda determinista, por cuanto puede ser descrita matemáticamente (mediante un modelo matemático).La forma más simple de onda periódica es la onda armónica (sinusoidal), que se describe matemáticamente:, a menudo se utiliza la frecuenciaciclos por segundo o hercios (Hz), dondeSin embargo, el modelo descrito para las ondas armónicas no sirve para describir estructuras periódicas más complicadas: las ondas anarmónicas.Joseph Fourier demostró que las ondas periódicas con formas complicadas pueden considerarse como suma de ondas armónicas (cuyas frecuencias son siempre múltiplos enteros de la frecuencia fundamental).representa el desplazamiento periódico de una onda en una cierta posición.y su derivada son continuas, puede demostrarse que dicha función puede representarse mediante una suma del tipo:Al igual que una forma de onda periódica puede analizarse como una serie de Fourier mediante las contribuciones relativas de la frecuencia fundamental y los armónicos superiores presentes en la forma de onda, también es posible construir nuevas formas de onda periódicas, sumando a la frecuencia fundamental distintas contribuciones de sus armónicos superiores.Este proceso se denomina síntesis de Fourier.De hecho, el caso más simple, el de una onda armónica, es un caso particular para un único armónico (Otros casos requieren un número infinito de armónicos que solo pueden existir en sus formas perfectas como abstracciones matemáticas debido a que en la naturaleza no se pueden crear o transmitir señales de ancho de banda infinito.Entre estos casos de señales periódicas compuestos por infinitos armónicos se encuentran las ondas cuadradas (onda compuesta exclusivamente por armónicos impares cuya amplitud es inversamente proporcional al número de armónico, es decir,Este teorema demuestra que toda onda periódica limitada en banda (limitada a componentes armónicos por debajo de una frecuencia máxima conocida) puede ser descrita en su totalidad y sin ambigüedad por una serie de muestras no cuantificadas si se cumple que la frecuencia de muestreo es superior (nunca igual) al doble de la frecuencia del último armónico que puede contener la onda.se calcula sobre un intervalo de la función correspondiente a un periodo propio fundamental completoEs muy frecuente que el valor medio de una onda periódica sea cero.En electrotecnia y electrónica un valor medio no nulo mide la magnitud de un componente de corriente continua en una señal.El valor eficaz (raíz cuadrática media o RMS) de una onda periódicase calcula sobre un intervalo de la función correspondiente a un periodo propio fundamental completoEl valor eficaz de una onda periódica es de especial interés en física cuando se aplica a presiones (mecánica), tensiones o intensidades (electrotecnia o electrónica) para cálculos relacionados con la energía o la potencia.Un movimiento periódico es aquel en el que la posición o posiciones del sistema se pueden expresar con arreglo a funciones periódicas, todas con el mismo periodo.De forma más explícita, se dice que una función f es periódica con periodo P mayor que cero si cumple que: para todos los valores de x en el dominio de f. De manera análoga, una función no periódica es aquella que no posee dicho periodo P. Un ejemplo sencillo es la función f que devuelve la parte fraccional de su argumento: Si una función f es periódica con periodo P, entonces para todo x en el dominio de f y para todo n entero: En el ejemplo anterior, el valor de P es 1, dado que: Esto no implica que el periodo de una función tenga que recibir el menor valor posible que satisfaga la expresión anterior, sino que podría tomar cualquier otro.Las funciones trigonométricas, tales como la función seno o coseno, son casos típicos de funciones periódicas, en las que su periodo es de 360 grados.