Análisis de Fourier
Por ejemplo, determinar qué frecuencias componentes están presentes en una nota musical implicaría calcular la transformada de Fourier de una nota musical muestreada.
Luego, se podría volver a sintetizar el mismo sonido al incluir los componentes de frecuencia como se reveló en el análisis de Fourier.
En matemáticas, el término análisis de Fourier a menudo se refiere al estudio de ambas operaciones.
Su producto resultado, la transformada de Fourier, a menudo recibe un nombre más específico, que depende del dominio y otras propiedades de la función que se está transformando.
Además, el concepto original del análisis de Fourier se ha extendido a lo largo del tiempo para aplicarse a situaciones cada vez más abstractas y generales, y el campo general a menudo se conoce como análisis armónico.
El método FT se utiliza para decodificar las señales medidas y registrar los datos de longitud de onda.
Los componentes de Fourier de cada cuadrado se redondean para reducir la precisión aritmética y los componentes débiles se eliminan por completo, de modo que los componentes restantes se pueden almacenar de forma muy compacta.
Una función se transforma en otra, y la operación es reversible.
Obsérvese que cualquier s(t) cuya transformada tenga los mismos valores muestrales discretos puede utilizarse en el sumatorio periódico.
Así, una suma periódica convergente en el dominio de la frecuencia puede representarse mediante una serie de Fourier, cuyos coeficientes son muestras de una función temporal continua relacionada: que se conoce como la DTFT.
También se puede señalar que: En consecuencia, una práctica común es modelar el "muestreo" como una multiplicación por la función peine de Dirac, que por supuesto sólo es "posible" en un sentido puramente matemático.
Nótese que cualquier s(t) con los mismos valores discretos de la muestra produce la misma DTFT Pero bajo ciertas condiciones idealizadas uno puede recuperar teóricamente S(f) y s(t) exactamente.
Una condición suficiente para la recuperación perfecta es que la porción no nula de S(f) esté confinada a un intervalo de frecuencia conocido de ancho {sfrac}}.
Esta es una piedra angular en los fundamentos del procesamiento digital de señales.
Las aplicaciones de la DTFT no se limitan a las funciones muestreadas.
También es N-periódico, por lo que nunca es necesario calcular más de N coeficientes.
La transformada inversa, también conocida como serie discreta de Fourier, viene dada por: Cuando sN[n] se expresa como una suma periódica de otra función: Alternativamente,
La DFT puede calcularse mediante un algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT), lo que la convierte en una transformación práctica e importante en los ordenadores.
Ver Transformada discreta de Fourier para mucha más información, incluyendo: Para funciones periódicas, tanto la transformada de Fourier como la DTFT comprenden sólo un conjunto discreto de componentes de frecuencia (series de Fourier), y las transformadas divergen en esas frecuencias.
Pero la misma información espectral puede discernirse a partir de un solo ciclo de la función periódica, ya que todos los demás ciclos son idénticos.
Es común en la práctica que la duración de s(*) esté limitada al período, P o N. Pero estas fórmulas no requieren esa condición.
{\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{NT}}\right)} ^{S[k]}\,&\triangleq \,\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}\\&\equiv \underbrace {\sum _{n}s_{P}(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}} _{\text{DFT}}\,\end{aligned}}}
Cuando las partes real e imaginaria de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares, hay cuatro componentes, denotadas a continuación por los subíndices RE, RO, IE e IO.
Y existe un mapeo uno a uno entre los cuatro componentes de una función temporal compleja y los cuatro componentes de su transformada de frecuencia compleja:[8] De ello se desprenden varias relaciones, por ejemplo: Una forma temprana de series armónicas se remonta a las antiguas matemáticas babilónicas, donde se utilizaban para calcular las efemérides (tablas de posiciones astronómicas).
En tiempos modernos, variantes de la transformada discreta de Fourier fueron utilizadas por Alexis Clairaut en 1754 para calcular una órbita,[13] que se ha descrito como la primera fórmula de la DFT,[14] y en 1759 por Joseph Louis Lagrange, al calcular los coeficientes de una serie trigonométrica para una cuerda vibrante.
[15] Tanto Euler como Lagrange discretizaron el problema de la cuerda vibrante, utilizando lo que hoy se llamaría muestras.
Varios autores, especialmente Jean le Rond d'Alembert, y Carl Friedrich Gauss utilizaron series trigonométricas para estudiar la ecuación del calor,[17] pero el avance decisivo fue el artículo de 1807 Memoria sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos de Joseph Fourier, cuya idea crucial fue modelar todas las funciones mediante series trigonométricas, introduciendo la serie de Fourier.
Los historiadores están divididos en cuanto al crédito que hay que dar a Lagrange y a otros por el desarrollo de la teoría de Fourier: Daniel Bernoulli y Leonhard Euler habían introducido representaciones trigonométricas de las funciones, y Lagrange había dado la solución en serie de Fourier a la ecuación de onda, por lo que la contribución de Fourier fue principalmente la audaz afirmación de que una función arbitraria podía representarse mediante una serie de Fourier.
[14] El desarrollo posterior del campo se conoce como análisis armónico, y es también una instancia temprana de la teoría de la representación.
El primer algoritmo de la transformada rápida de Fourier (FFT) para la DFT fue descubierto alrededor de 1805 por Carl Friedrich Gauss al interpolar las mediciones de la órbita de los asteroides Juno y Pallas, aunque ese algoritmo de FFT en particular se atribuye más a menudo a sus redescubridores modernos Cooley y Tukey.
