Las integrales elípticas pueden verse como generalizaciones de las funciones trigonométricas inversas.
Otro buen ejemplo es el péndulo, cuyo movimiento para pequeñas oscilaciones puede representarse por funciones trigonométricas, pero para oscilaciones más grandes requiere el uso de funciones elípticas basadas en las integrales elípticas.
Para ver esto escribamos la integral elíptica en la forma: Donde
es un polinomio de tercer o cuarto grado, que contiene al menos una potencia impar de
Existen integrales elípticas de primera especie, completas e incompletas.
La integral elíptica completa de primera especie
se define como: y puede expresarse como una serie de potencias como donde
es el polinomio de Legendre, la expresión anterior es equivalente a donde
, esta solución satisface la relación La integral elíptica incompleta de primera especie F se define como: En este caso el parámetro
Puede probarse que si definimos una nueva amplitud φ1 y un nuevo parámetro k1, relacionadas con la antigua amplitud φ y el antiguo parámetro k mediante: Entonces existe una relación simple entre las integrales elípticas incompletas asociadas a los parámetros (k1,φ1) y (k,φ) dada por: Este resultado puede aplicarse iterativamente para calcular las integrales elípticas incompletas en términos de funciones elementales y límites.
Si definimos las sucesiones: Entonces tenemos que: Donde: Una Integral elíptica de segunda especie es un caso particular de la integral elíptica.
La integral elíptica completa de segunda especie
se define como: La integral elíptica de segunda especie puede expresarse como la serie de potencias que es equivalente a La integral elíptica incompleta de segunda especie es una función de dos variables que generaliza a la integral completa: Una integral elíptica de tercera especie es un caso particular de la integral elíptica.
, la integral elíptica completa de tercera especie se define como: donde