Función trigonométrica inversa
Las funciones trigonométricas inversas se utilizan ampliamente en ingeniería, navegación, física y geometría.
Así, en la circunferencia goniométrica (de radio igual a 1), "el arco cuyo coseno es x" es el mismo que "el ángulo cuyo coseno es x", porque la longitud del arco de circunferencia en radios es la misma que la medida del ángulo en radianes.
Esto puede parecer que entra en conflicto con la semántica común para expresiones como sin2(x), que se refieren a una potencia numérica en lugar de a la composición de funciones, y por lo tanto, puede generar una confusión entre el inverso multiplicativo o recíproco y la función inversa.
[18] La confusión se mitiga un poco por el hecho de que cada una de las funciones trigonométricas recíprocas tiene su propio nombre, por ejemplo, (cos(x))−1 = sec(x).
Un ejemplo notable es la propia Wikipedia en español, donde la sintaxis del código LaTex utilizado para escribir fórmulas matemáticas, emplea las formas (con el resultado de
Estas propiedades se aplican a todas las funciones trigonométricas inversas.
La siguiente tabla muestra cómo las funciones trigonométricas inversas pueden usarse para resolver las igualdades que involucran las seis funciones trigonométricas estándar, donde se asume que r, s, x y y se encuentran dentro del rango apropiado.
La expresión "LI ⇔ LD" indica indistintamente que: No existe una opción (c) (por ejemplo, no es posible que la declaración LI sea verdadera y también simultáneamente que la declaración LD sea falsa), porque de lo contrario no se debería haber escrito que "LI ⇔ LD" (consúltese esta nota al pie[nota 1] para ver un ejemplo ilustrando este concepto).
En la siguiente tabla, se muestra cómo dos ángulos θ y φ deben estar relacionados, si sus valores bajo una función trigonométrica dada son iguales o tienen el signo cambiado.
Vale la pena señalar que para arco secante y arco cosecante, el diagrama asume que x es positivo, y por lo tanto, el resultado debe corregirse mediante el uso de valores absolutos y la operación signo (sgn).
Ángulos complementarios: Argumentos negativos: Argumentos recíprocos: Identidades útiles si solo se tiene un fragmento de una tabla de seno: Siempre que se use aquí la raíz cuadrada de un número complejo, se elige la raíz con la parte real positiva (o la parte imaginaria positiva si el cuadrado es real negativo).
, se obtiene: Integrar la derivada y fijar el valor en un punto da una expresión para la función trigonométrica inversa como una integral definida: Cuando x es igual a 1, las integrales con dominios limitados son impropias, pero aun así están bien definidas.
Para el arco seno, la serie se puede deducir expandiendo su derivada,
Alternativamente, esto se puede expresar como Otra serie para la función arco tangente viene dada por donde
Los denominadores parciales son los números naturales impares, y los numeradores parciales (después del primero) son solo (nz)2, y cada cuadrado perfecto aparece una vez.
La primera fue desarrollada por Leonhard Euler; la segunda por Carl Friedrich Gauss utilizando la función hipergeométrica.
La función signo también es necesaria debido a los valores absolutos en las derivadas de las dos funciones, que crean dos soluciones diferentes para los valores positivos y negativos de x.
Estos se pueden simplificar aún más utilizando las definiciones logarítmicas de las funciones hiperbólicas inversas: El valor absoluto en el argumento de la función arcosh crea una mitad negativa de su gráfica, haciéndola idéntica a la función logarítmica signo que se muestra arriba.
(es decir, el método de integración por partes), se obtiene Luego que aplicando la simple sustitución siguiente,
Esto da como resultado funciones con varias superficies y puntos de ramificación.
Esto extiende su dominios al plano complejo de forma natural.
Debido a que todas las funciones trigonométricas inversas generan un ángulo de un triángulo rectángulo, se pueden generalizar usando la fórmula de Euler para formar un triángulo rectángulo en el plano complejo.
que resultan de reemplazar los valores en las ecuaciones anteriores y simplificar.
de valor complejo, esta definición permite obtener ángulos hiperbólicos como resultados y se puede utilizar para definir aún más las funciones hiperbólicas inversas.
Usando la definición exponencial del seno, se obtiene Sea Resolviendo para
El arco tangente es útil en esta situación, ya que no se necesita la longitud de la hipotenusa.
Sin embargo, este procedimiento falla si se pretende calcular x ≤ 0 e y = 0, por lo que la expresión no es adecuada para su uso en programas de ordenador.
El orden de argumentos anterior (y, x) parece ser el más común, y en particular se usa según la Organización Internacional de Normalización en el lenguaje de programación C, pero algunos autores pueden usar la convención opuesta (x,y) por lo que se requiere cierta precaución.
Para ángulos cercanos a 0 y π, el arco coseno es un valor mal condicionado, y por lo tanto, calculará el ángulo con precisión reducida en aplicaciones informáticas (debido al número limitado de dígitos).
[24] De manera similar, el arco seno pierde precisión para ángulos cercanos a −π/2 y π/2.
