Funciones hiperbólicas inversas
La cosecante hiperbólica inversa (también conocida como área de la cosecante hiperbólica) (latín: Area cosecans hiperbolicus): El dominio es toda la recta real, excepto el 0; y la última igualdad se tiene sólo si x>0.
Ejemplo de una derivada: sea θ = arsinh x, entonces (donde sinh2 θ = (sinh θ) 2): Se pueden obtener desarrollos en serie para las funciones anteriores: La expansión asintótica para el arsinh x viene dada por En el análisis complejo, las funciones hiperbólicas inversas son funciones multivaluadas, que son analíticas, excepto en un número finito de puntos.
Para especificar la rama, es decir, definir qué valor de la función multivalor se considera en cada punto, generalmente se define en un punto particular y se deduce el valor en todas las partes del dominio de definición del valor principal por extensión analítica.
Cuando sea posible, es mejor definir el valor principal directamente, sin hacer referencia a la continuación analítica.
Esto define una función analítica de valor único, que se define en todas partes, excepto para los valores reales no positivos de las variables (donde las dos raíces cuadradas tienen una parte real cero).
Este valor principal de la función raíz cuadrada se denota como
El valor principal del seno hiperbólico inverso está dado por El argumento de la raíz cuadrada es un número real no positivo, si y solo si z pertenece a uno de los intervalos [i, +i∞) y (−i∞, −i] del eje imaginario.
Por tanto, esta fórmula define un valor principal para arsinh, con cortes de rama [i, +i∞) y (−i∞, −i].
Esto es óptimo, ya que los cortes de rama deben conectar los puntos singulares i y −i al infinito.
La fórmula para el coseno hiperbólico inverso dada en el coseno hiperbólico inverso no es conveniente, ya que similar a los valores principales del logaritmo y la raíz cuadrada, el valor principal del arcosh no estaría definido para z imaginario.
Por lo tanto, la raíz cuadrada debe factorizarse, lo que lleva a Los valores principales de las raíces cuadradas están definidos, excepto si z pertenece al intervalo real (−∞, 1].
Para artanh, este argumento está en el intervalo real (−∞, 0], si z pertenece a (−∞, −1] o [1, ∞).
Para la cosecante hiperbólica inversa, el valor principal se define como Se define cuando los argumentos del logaritmo y la raíz cuadrada no son números reales no positivos.
Para z = 0, hay un punto singular que se incluye en el corte de rama.
Aquí, como en el caso del coseno hiperbólico inverso, se tiene que factorizar la raíz cuadrada.
Esto da el valor principal Si el argumento de una raíz cuadrada es real, entonces z es real, y se deduce que ambos valores principales de raíces cuadradas están definidos, excepto si z es real y pertenece a uno de los intervalos (−∞, 0] y [1, +∞).
El hecho de que todos los cortes de rama aparezcan como discontinuidades, muestra que estos valores principales pueden no extenderse a funciones analíticas definidas en dominios más amplios.
En otras palabras, los cortes de rama definidos anteriormente son mínimos.
