Punto de ramificación

Esto contrasta con los puntos de ramificación logarítmicos y trascendentales, es decir, los puntos en los que una función de valores múltiples tiene una monodromía no trivial y una singularidad esencial.Sea γ el límite de B(z0, r), tomado con su orientación positiva.Normalmente, ƒ no tiene interés por sí misma, sino su función inversa.La función inversa es la raíz cuadrada ƒ−1(w) = w1/2, que tiene un punto de ramificación en w0 = 0.De hecho, dando la vuelta al recorrido cerrado w = eiθ, se comienza en θ = 0 y ei0/2 = 1.Pero después de dar la vuelta al bucle hasta θ = 2π, se tiene que e2πi/2 = −1.Por lo tanto, existe monodromía alrededor de este bucle que encierra el origen.Supóngase que g es una función analítica global definida en una corona circular alrededor de z0.Aquí, el grupo de monodromía para un circuito alrededor del origen es finito.La continuación analítica alrededor de k circuitos completos devuelve la función al original.Yendo una vez en sentido antihorario alrededor de una curva cerrada simple que rodea el origen, el logaritmo complejo se incrementa en 2πe.La misma idea se puede aplicar a la función √z; pero en ese caso se tiene que notar que el punto en el infinito es el otro punto de ramificación apropiado para conectarse desde 0, por ejemplo en todo el eje real negativo.Si un número complejo se representa en forma polar z = reiθ, entonces el logaritmo de z es Sin embargo, existe una ambigüedad obvia al definir el ángulo θ: agregar a θ cualquier múltiplo entero de 2π producirá otro ángulo posible.Cada vez que la variable gira alrededor del origen, el logaritmo se mueve a una rama diferente.Integrando sobre la ubicación del poste: define una función u(z) con un corte de −1 a 1.A menos que sea constante, la función f será una aplicación recubridora en su imagen en todos los puntos excepto en un número finito.Luego donde vP es la evaluación en el anillo local de funciones regulares en P. Es decir, eP es el orden en el que