Monodromía

En matemática, monodromía es el estudio de cómo los objetos de análisis matemático, topología algebraica y algebraicos y geometría diferencial se comportan cuando 'circundan' una singularidad.Está estrechamente asociada al recubrimiento de un mapa y a su degeneración en la ramificación correspondiente; el aspecto que da lugar a fenómenos de monodromía es que cierta función se define univaluada cuando 'recorremos' una ruta rodeando alguna singularidad.Sea X conexo y conexo localmente, un espacio topológico con base en el punto x y seaHay teoremas que establecen que esta construcción da un grupo acción bien definido del grupo fundamental π1(X, x) de F y que el estabilizador deEsta acción se llama acción de monodromía y al correspondiente homomorfismo π 1(X, x) → Aut (F) en el grupo de automorfismos de F, es la monodromía.Estas ideas se hicieron explicitadas primero en análisis complejo.En el proceso de Extensión analítica, una función que es analítica F(z) en un subconjunto abierto E del plano complejo perforado C \ {0} se puede hacer contíinua de reversa hacia E, pero con valores diferentes.Por ejemplo tomar y luego extender analíticamente en sentido antihorario alrededor del círculo resultará en el retorno, no a F(z) sino En este caso el grupo de monodromía es cíclico infinito y el espacio de la cubierta es la cubierta universal del plano complejo pinchado.El mapa de cobertura es una proyección vertical, en un sentido que colapse la espiral en la manera obvia para obtener un plano perforado.Una aplicación importante es a ecuación diferenciales, donde una sola solución puede dar más soluciones linealmente independientes por extensión analítica.Para un sistema lineal normal (y en particular Fuchsiano), uno elige generalmente como generadores del grupo de monodromía los operadores Mj correspondiente a los bucles que sortea uno de los polos del sistema en sentido contrario a las manecillas del reloj.Si los índices j se eligen de tal manera que aumentan de 1 a p + 1 cuando uno sortea el punto base en el sentido de las manecillas del reloj, entonces la relación única entre los generadores es la igualdadEl problema ha sido formulado por Pierre Deligne, y Carlos Simpson fue el primero en obtener resultados hacia su resolución.Una versión aditiva del problema sobre los residuos de sistemas Fuchsianos ha sido formulada y explorado por Vladimir Kostov.Así, el problema ha sido considerado por otros autores para grupos matriciales diferentes a GL (n, C).[1]​ En el caso de un mapa de cobertura, lo miramos como un caso especial de fibración y utilizamos la propiedad de elevación de homotopía para 'seguir ' caminos en el espacio base X (suponemos los caminos conectados por simplicidad) cuando se levantan en la cubierta C. Si circundamos un bucle basado en x en X, que levantamos para iniciar en c sobre x, terminaremos en algunos c * nuevamente por encima de x; es muy posible que c ≠ c *, y a este código se le considere la acción del grupo fundamental π1(X, x) como un grupo de permutación en el conjunto de todos los c, como un grupo de monodromía en este contexto.En geometría diferencial, desempeñan un papel análogo por transporte paralelo.El resultado tiene la estructura de un grupoide sobre el espacio base X.Además también puede generalizarse la construcción de foliaciones: considerepodemos considerar su difeomorfismo inducido en secciones transversales locales a través de los extremos.Dentro de una carta simplemente conexa este difeomorfismo se convierte en único y especialmente canónico entre secciones transversales diferentes si pasamos al germen del difeomorfismo alrededor de los extremos.Sea F(x) que denote el campo de la funciones racionales en la variable x en el campo F, que es el campo de las fracciones del anillo de polinomios F[x].