Supongamos que Σ es un contorno cerrado simple en el plano complejo dividiendo el plano en dos partes por Σ+ (interior) y Σ− (el exterior), determinado por el índice del contorno respecto a un punto.
En este caso, uno puede buscar M+(z) junto con su reflexión Schwarz: En la Σ del círculo de unidad, se tiene
y así Por lo tanto, el problema se reduce a encontrar un par de funciones M+(z) y M− (z) analítica, respectivamente, en el interior y el exterior del disco de la unidad, para que en el círculo unitario y, además, por lo que sostiene la condición en el infinito: La generalización de Hilbert fue considerar el problema de intentar encontrar M+ y M- analítica, respectivamente, en el interior y fuera de la curva Σ, tal que en Σ se tenga donde α, β y c son funciones complejas arbitrarias dadas (ya no sólo complejo conjugadas).
Los lados + y − del "contorno", podrán determinarse según el índice de un punto con respecto a Σ.
Dada una función de matriz V definida en el contorno Σ, encontrar una función holomorfa de matriz M definido en el complemento de la Σ, que cumple dos condiciones: En el caso más simple V es lisa e integrable.
En particular, los problemas de factorización de Riemann–Hilbert, se utilizan para extraer asíntotas para los tres problemas líneas arriba (digamos, como el tiempo tiende a infinito, como la dispersión coeficiente va a cero, o como el grado del polinomio vaya al infinito, o según el tamaño de la permutación vaya al infinito).
Tal vez, la extensión más sofisticada hasta ahora de la teoría , es la aplicada al caso "no autoadjunto", es decir, cuando el operador Lax subyacente (el primer componente de la pareja Lax) no es autoadjunto, por Kamvissis, McLaughlin y Miller (2003).
En ese caso, "contornos escalonados al descenso" son definidos y calculados.