Los polinomios ortogonales son conjuntos de polinomios que forman una base ortogonal de cierto espacio de Hilbert.
Los polinomios ortogonales son importantes porque aparecen en la teoría de ecuaciones diferenciales, muy especialmente en la teoría de Sturm-Liouville, la teoría de espacios de Hilbert, la teoría de la aproximación de funciones y la mecánica cuántica.
La mayoría de las familias
de polinomios ortogonales más usados son bases ortogonales de un espacio de Hilbert
de funciones de cuadrado integrable respecto al producto escalar con función de ponderación
{\displaystyle \langle p_{m},p_{n}\rangle _{\mathcal {F}}=\int _{I\subset \mathbb {R} }p_{m}^{*}(x)p_{n}(x)w(x)\ dx=N_{m}\delta _{mn}}
Donde: Además estos polinomios suelen ser los vectores propios de un operador diferencial lineal autoadjunto de segundo orden u operador Sturm-Liouville de la forma:
+ q ( x ) y
{\displaystyle {\mathcal {L}}(y)={\frac {1}{w}}\left[-{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y\right]}
Los polinomios de Legendre son soluciones de la ecuación diferencial:[1]
{\displaystyle (1-x^{2})y''-2xy'+n(n+1)y=0,\qquad y(x)=P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!
Los polinomios de Hermite son soluciones de la ecuación diferencial:[2]
+ 2 n y = 0 ,
+ n y = 0 ,
{\displaystyle xy''+(1-x)y'+ny=0,\qquad y(x)=L_{n}(x)=e^{x}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x}),\qquad \{w=e^{-x},I=[0,\infty )\}}
+ ( n − m ) y = 0 ,
{\displaystyle xy''-(m+1-x)y'+(n-m)y=0,\qquad y(x)=L_{n}^{m}(x)={\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(e^{x}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})\right),\qquad \{w=x^{m}e^{-x},I=[0,\infty )\}}
Los polinomios de Chebyshev son soluciones de la ecuación diferencial:[5]
( x ) = cos ( n arccos x ) ,
se denominan polinomios de Chebyshev de primer tipo, además los polinomios de Chebyshev de segundo tipo
que vienen dados por:
sin [ ( n + 1 ) arccos x ]
Los polinomios de Jacobi son series de polinomios ortogonales
( α , b e t a )
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,beta)}}
respecto a la función peso
en el intervalo [-1,+1] satisfacen la ecuación diferencial:
+ ( β − α − ( α + β + 2 ) x )
+ n ( n + α + β + 1 ) y = 0
Muchos polinomios ortogonales son casos particulares de Jacobi: En mecánica cuántica son de uso común las siguientes familias de polinomios ortogonales: