Polinomios de Legendre
En matemáticas, en el análisis de ecuaciones diferenciales ordinarias, las funciones de Legendre son las soluciones de las ecuaciones diferenciales de Legendre: llamadas así en honor del matemático francés Adrien-Marie Legendre.
Estas ecuaciones se encuentran frecuentemente en Física.
En general la serie de potencias obtenida converge cuando |x| < 1 y en el caso particular de que n sea un entero no negativo (0, 1, 2,...) las soluciones forman una familia de polinomios ortogonales llamados Polinomios de Legendre.
Una importante propiedad de los polinomios de Legendre es que éstos son ortogonales con respecto al producto escalar definido en L2 en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1: (donde δmn denota la delta de Kronecker, igual a 1 si m = n y 0 para otros casos).
Unos pocos primeros polinomios de Legendre: Los gráficos de estos polinomios (menores o iguales a n=5) se grafican abajo: Los polinomios de Legendre, igual que los de Hermite y Laguerre, son útiles en ramas de la Física y en el cálculo numérico ya que permiten el cómputo de integrales definidas sin necesidad de usar fórmulas analíticas, tan sólo fijando como intervalo de integración [ -1 ; +1] (con el correspondiente cambio de variable).
Esto es especialmente interesante en programas de cómputo que tratan de resolver una integral definida.
son las longitudes de los vectores
Esta expresión está usada, por ejemplo, para obtener el potencial de una carga puntual, que se siente en un punto
mientras la carga está localizada en el punto
La expansión usando polinomios de Legendre puede ser útil para integrar esta expresión sobre una carga continua distribuida.
, en una región del espacio de carga libre, usando el método de separación de variables, donde las condiciones límite tienen simetría axial (no depende del ángulo azimuthal).
es el eje de simetría y
es el ángulo entre la posición del observador y el eje
, la solución del potencial podría ser
[1] Polinomios de Legendre en el desarrollo multipolar Los polinomios de Legendre son también útiles en la expansión de funciones de la forma (esto es similar al caso anterior, escrito un poco diferente):
que aparece naturalmente en el desarrollo multipolar.
Como en el ejemplo, del potencial eléctrico
(en coordenadas esféricas) debido a una carga puntual localizada en el eje z en
2) varía como Si el radio r del punto de observación P es más grande que a, el potencial puede expandirse en polinomios de Legendre donde se define
Por el contrario, si el radio r del punto de observación P es más pequeño que a, el potencial puede aún ser expandido en los polinomios de Legendre como por encima, pero con a y r cambiados.
Los polinomios de Legendre son simétricos o antisimetricos, tal que Desde que la ecuación diferencial y la propiedad ortogonal son escalarmente independientes, los polinomios de Legendre definidos son estandarizados (a veces llamados normalizados, pero nótese que la real norma no es la unidad) por ser escalar tal que La derivada en un punto final está dado por Los polinomios de Legendre pueden construirse usando las tres relaciones de recurrencia y Útil para la integración de polinomios de Legendre es Los polinomios de Legendre en el intervalo [0,1],
Aquí la función de traslación es
(que es, de hecho, una trasformación afín) que aplica el intervalo [0, 1] en el intervalo [−1, 1], de modo que los polinomios obtenidos sigan siendo ortogonales.
Una expresión explícita para estos polinomios viene dado por La analogía a la Fórmula de Rodrigues para la traslación de los polinomios es: La primera traslación de los polinomios de Legendre es: Los polinomios de Legendre de orden fraccionario existen y se obtienen a partir de la Fórmula de Rodrigues empleando la derivada fraccionaria tal como se define en el cálculo fraccional y los factoriales no enteros definidos por una función gamma.
