El proceso se basa en un resultado de la geometría euclídea, el cual establece que la diferencia entre un vector[1] Dicho resultado constituye una herramienta para construir, a partir de un conjunto de dos vectores no paralelos, otro conjunto, conformado por dos vectores perpendiculares.Este algoritmo recibe su nombre de los matemáticos Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt.con el producto escalar usual definido, se propone un método para encontrar un sistema de vectores, perpendiculares entre sí, a partir de tres vectores no coplanarios cualesquiera.Esta sencilla interpretación del algoritmo para un caso que puede verse es susceptible de generalización a espacios vectoriales de dimensión arbitraria, con productos internos definidos, no necesariamente canónicos.Dicha generalización no es otra que el proceso de Gram-Schmidt.El método de Gram-Schmidt se usa para hallar bases ortogonales (Espacio Euclideo no normalizado) de cualquier base no euclídea.En primer lugar tenemos que: Es un vector ortogonal a, se define: Generalizando en k: A partir de las propiedades del producto escalar, es sencillo probar que el conjunto de vectoresProposición 1Si es un conjunto de vectores linealmente independientes, los vectores u1, u2, ... uk definidos por son todos no nulos.Luego, Establezcamos la hipótesis inductiva como sigue.En la expresión, se ve que es posible despejar uk en función de una sucesión vj de vectores, puesto que la matriz del conjunto de sistemas es triangular inferior, con todos sus elementos en la diagonal distintos de cero.Esto implica en particular que existen escalares(tantos como elementos en el triángulo inferior de la matriz inversa) tales que Supongamos que fuera uk = 0, en este caso queda y por lo tanto existen escalares, no todos nulos, que producen una combinación nula con vectores deLuego, igualdad que, por el principio de inducción, es válida para todo k natural∎ Proposición 2El conjunto está constituido por vectores mutuamente ortogonales.Por la linealidad del producto interno, se tieneque, en (1), queda finalmente, por la homogeneidad del producto interno tenemos luego Procedemos por inducción, la hipótesis inductiva es La Proposición 1, permite definir con lo cual, análogamente al caso j = 2, se tiene Esto demuestra que es decir, todo vector enAplicaremos inducción sobre n, considérese la hipótesis inductiva también puede escribirse La Proposición 1 garantiza la segunda condición de la conjunción lógica, con lo cual sólo hace falta demostrar para n la primera.por lo tanto Los conjuntos así definidos satisfacen la siguiente relación.Proposición 3Los sistemas de vectores generan el mismo subespacio vectorial.Para obtener una base ortonormal a partir demediante el proceso de Gram-Schmidt es posible construir una base ortogonalcon respecto al producto interno usual deSe calculan los vectores u1 y u2 a partir de las fórmulas.que es una base ortogonal de R3 con respecto al producto escalar canónico.Se construye, para ello, una función con las siguientes características.Para obtener una base ortonormal, basta normalizar los elementos deDada una matriz M cuyos vectores fila son los vectores de una base a ortogonalizar, si se aplica la eliminación Gaussiana por filas a la matriz: Para ello escribimos a la derecha la matriz de su producto escalarY se realiza la eliminación Gaussiana A Fila2 le restamos la Fila1 por 2 A Fila3 le restamos la Fila1 por 2 A Fila3 por 7 le restamos la Fila2 por 8 Las filas de la derecha son una base ortogonal, cuyos vectores son proporcionales a los que se obtuvieron anteriormente con el proceso de Gram-Schmidt.
Animación que describe el proceso de ortonormalización en el espacio tridimensional
Los dos primeros pasos del proceso de Gram–Schmidt
