Esta ecuación tiene soluciones distintas de cero que son no singulares en [−1, 1] solo si ℓ y m son enteros con 0 ≤ m ≤ ℓ, o con valores negativos trivialmente equivalentes.
Cuando m es cero y ℓ entero, estas funciones son idénticas a los polinomios de Legendre.
En general, cuando ℓ y m son enteros, las soluciones regulares a veces son llamadas "polinomios asociados de Legendre", incluso cuando estas no son polinomios en el caso de que m sea impar.
En este caso los parámetros son usualmente etiquetados con letras griegas.
Las funciones descritas por esta ecuación satisfacen la ecuación diferencial de Legendre dado un parámetro ℓ, y m indica las veces que se deriva la ecuación de Legendre Pℓ Más aún, dado que por la fórmula de Rodrigues el Pmℓ puede ser expresado de la forma Esta ecuación permite la extensión del rango de m a: −ℓ ≤ m ≤ ℓ.
La ecuación diferencial también es invariante bajo un cambio de ℓ a −ℓ − 1, y las funciones para ℓ negativo son definidas por A continuación se muestran los primeros polinomios asociados de Legendre, incluyendo aquellos para los que se tienen valores negativos de m: Estas funciones tienen algunas propiedades de recurrencia: Algunas identidades útiles (valores iniciales para la primera recursión): donde !!