En matemáticas, los polinomios de Jacobi (ocasionalmente llamados polinomios hipergeométricos) P(α, β)n(x) son una clase de polinomios ortogonales clásicos.
es un símbolo de Pochhammer (para el factorial ascendente).
En este caso, la serie para la función hipergeométrica es finita, por lo tanto, se obtiene la siguiente expresión equivalente: La fórmula de Rodrigues da una definición equivalente:[1][3] Si
, entonces se reduce a los polinomios de Legendre: Para x real, el polinomio de Jacobi puede escribirse alternativamente como y para un número entero n donde Γ(z) es la Función gamma.
(1)La suma se extiende sobre todos los valores enteros de s para los cuales los argumentos de los factoriales no son negativos.
Los polinomios de Jacobi satisfacen la condición de ortogonalidad Como se define, no tienen una norma unitaria con respecto al peso.
Esto se puede corregir dividiendo por la raíz cuadrada del lado derecho de la ecuación anterior, cuando
Aunque no proporciona una base ortonormal, a veces se prefiere una normalización alternativa debido a su simplicidad: Los polinomios tienen la relación de simetría por lo tanto, el otro valor terminal es La k-ésima derivada de la expresión explícita conduce a El polinomio de Jacobi P(α, β)n es una solución de una ecuación diferencial lineal de segundo orden[1] La relación de recurrencia para los polinomios de Jacobi de α, β fija es:[1] para n = 2, 3, ....
[1] Para x en el interior de [−1, 1], el término asintótico de P(α, β)n para n grande viene dado por la fórmula de Darboux[1] donde y el término "O" es uniforme en el intervalo [ε, π-ε] para cada ε > 0.
Los polinomios asintóticos de Jacobi cerca de los puntos ±1 vienen dados por la formula de Mehler-Heine donde los límites son uniformes para z en un dominio delimitado.
Los polinomios asintóticos fuera de [−1, 1] son menos explícitos.