Polinomios de Zernike
En matemáticas, los polinomios de Zernike son una secuencia de polinomios que son ortogonales en el disco unidad.
Fueron nombrados en honor del físico óptico Frits Zernike, ganador del Premio Nobel de física en 1953 e inventor del microscopio de contraste de fases.
Estos polinomios juegan un papel importante en la modelización del comportamiento de haces de luz en un sistema óptico.
Los términos pares se definen como: y los impares como: donde m y n son números enteros no negativos con n ≥ m, φ es el ángulo acimutal, ρ es la distancia radial
y Rmn son los polinomios radiales definidos a continuación.
Reescribiendo las relaciones de factoriales en la parte radial como productos de coeficientes binomiales, se demuestra que los coeficientes son números enteros: La notación como términos de funciones hipergeométricas gaussianas es útil para revelar recurrencias, para demostrar casos especiales de los polinomios de Jacobi, o para reducir ecuaciones diferenciales.
Una relación para enumerar las filas y las columnas de estas matrices mediante un solo índice fue introducida por Noll.
) se obtienen los índices j pares, y para Z impar se obtienen los índices j impares.
Los 20 primeros números de Fringe se enumeran a continuación.
[5] La ortogonalidad en la parte radial se expresa como[6] La ortogonalidad en la parte angular está representada por las integrales elementales donde
(a veces llamado factor de Neumann porque aparece con frecuencia junto con las funciones de Bessel) se define como 2 si
El producto de las partes angulares y radiales establece la ortogonalidad de las funciones de Zernike con respecto a ambos índices si se integra en el disco unidad, donde
es el jacobiano del sistema de coordenadas circulares, y donde
puede representarse en términos de sus coeficientes de Zernike (impar y par), del mismo modo que las funciones periódicas encuentran una representación ortogonal con la serie de Fourier.
Siendo los coeficientes se pueden calcular usando productos internos.
La función de fase se recupera mediante el producto ponderado de coeficiente desconocido con (valores conocidos) del polinomio de Zernike en la retícula del disco unidad.
Por lo tanto, los coeficientes también se pueden encontrar resolviendo un sistema lineal, por ejemplo, mediante la inversión de una matriz.
La paridad con respecto a la reflexión en el eje x es La paridad con respecto al punto de reflexión en el centro de coordenadas es donde
Los polinomios radiales también son pares o impares, según el orden n o m: La periodicidad de las funciones trigonométricas implica invarianza si se rota por múltiplos de
: La relación anterior es especialmente útil, ya que la derivada de
[9][10] Su desventaja, en particular si están involucrados n términos, es la distribución desigual de las líneas nodales sobre el disco unidad, lo que introduce efectos de resonancia cerca del perímetro
, que a menudo conducen a la necesidad de definir otras funciones ortogonales sobre el disco circular.
En optometría y oftalmología, los polinomios de Zernike se usan para describir aberraciones de la córnea o del cristalino desde una forma esférica ideal, que da como resultado ametropías.
Las aplicaciones habituales para esta propiedad se encuentran en la astronomía visual o infrarroja y en tratamiento de imágenes satelitales.
[14] Por lo tanto, pueden utilizarse para extraer propiedades de imágenes que describen la forma características de un objeto.
[17] El concepto se traduce a dimensiones mayores D si los multinomios
se absorbe aquí en la definición de R, mientras que en
la normalización se elige de forma ligeramente diferente.
Esto es en gran medida una cuestión arbitraria, dependiendo de si se desea mantener un conjunto entero de coeficientes o se prefieren fórmulas más estrictas si está involucrada la ortogonalización).
, o de lo contrario, idéntico a cero.
