Polinomios de Hermite
Los polinomios de Hermite son un ejemplo de polinomios ortogonales que encuentran su principal ámbito de aplicaciones en mecánica cuántica, sobre todo en el estudio del oscilador armónico unidimensional.
Son nombrados así en honor de Charles Hermite.
Los polinomios de Hermite se definen como: (los "polinomios de Hermite probabilísticos") o, a veces, como (los "polinomios de Hermite físicos"): Estas dos definiciones no son exactamente equivalentes; una es un reescalado trivial de la otra: Los polinomios físicos pueden expresarse como:
n
{\displaystyle \displaystyle {H_{n}}}
es un polinomio de grado n, con n = 0, 1, 2, 3, ....
Estos polinomios son ortogonales con respecto de la función peso (medida) o es decir o donde
n m
{\displaystyle \delta _{\mathit {nm}}}
es la delta de Kronecker, que vale la unidad cuando n = m y cero en otro caso.
Los polinomios probabilísticos son ortogonales con respecto a la función de densidad de probabilidad normal.
Los polinomios de Hermite (en su forma "física") satisfacen las siguientes relaciones de recurrencia: Una recurrencia integral que se deduce y demuestra en [1] son las que siguen:
e
n + 1
( x ) = ( n + 1 )
e
n
( t ) d t −
e
n
{\displaystyle He_{n+1}(x)=(n+1)\int _{0}^{x}He_{n}(t)dt-He'_{n}(0),}
n + 1
( x ) = 2 ( n + 1 )
( t ) d t −
n
{\displaystyle H_{n+1}(x)=2(n+1)\int _{0}^{x}H_{n}(t)dt-H'_{n}(0).}
e
e
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{0}(x)&=1,\\{\mathit {He}}_{1}(x)&=x,\\{\mathit {He}}_{2}(x)&=x^{2}-1,\\{\mathit {He}}_{3}(x)&=x^{3}-3x,\\{\mathit {He}}_{4}(x)&=x^{4}-6x^{2}+3,\\{\mathit {He}}_{5}(x)&=x^{5}-10x^{3}+15x,\\{\mathit {He}}_{6}(x)&=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15,\\{\mathit {He}}_{7}(x)&=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x,\\{\mathit {He}}_{8}(x)&=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105,\\{\mathit {He}}_{9}(x)&=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x,\\{\mathit {He}}_{10}(x)&=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945.\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(x)&=1,\\H_{1}(x)&=2x,\\H_{2}(x)&=4x^{2}-2,\\H_{3}(x)&=8x^{3}-12x,\\H_{4}(x)&=16x^{4}-48x^{2}+12,\\H_{5}(x)&=32x^{5}-160x^{3}+120x,\\H_{6}(x)&=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120,\\H_{7}(x)&=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x,\\H_{8}(x)&=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680,\\H_{9}(x)&=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x,\\H_{10}(x)&=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240.\end{aligned}}}
