La letra T es usada por la transliteración alternativa del nombre Chebyshev como Tchebychef o Tschebyscheff.El polinomio de interpolación resultante minimiza el problema del fenómeno de Runge y entrega una aproximación cercana del polinomio a la mejor aproximación a una función continua bajo la norma maximal.En el estudio de ecuaciones diferenciales surgen como la solución a las ecuaciones diferenciales de Chebyshev y para polinomios del primer y segundo tipo, respectivamente.Ese cos(nx) es un polinomio de grado n-ésimo en cos(x) que puede obtenerse observando que cos(nx) es la parte real de un lado de la fórmula de De Moivre, y que la parte real del otro lado es un polinomio en cos(x) y sin(x), en el que todas las potencias de sin(x) son pares, luego reemplazables vía la identidad cos²(x) + sin²(x) = 1.Esta identidad es muy útil en conjunto con la fórmula generatriz recursiva, permitiendo calcular el coseno de cualquier integral múltiple de un ángulo únicamente en términos del coseno del ángulo basal.Para probar trivialmente si los resultados parecen razonables, basta sumar los coeficientes en ambos lados del signo igual (es decir, fijando theta igual a cero, caso en que el coseno equivale a la unidad), obteniendo que 1 = 2 - 1 en la primera expresión y 1 = 4 - 3 en la segunda.Un corolario inmediato es la identidad de composición Explícitamente (sin olvidar que los cosenos hiperbólicos inversos de x y −x difieren por la constante π).por x, podemos escribir: Los polinomios de Chebyshev también pueden ser definidos como las soluciones a la ecuación de Pell en un anillo R[x] (e.g., ver Demeyer (2007), p.70)., entonces Notar que tanto estas ecuaciones como las trigonométricas adquieren una forma más simple si seguimos la convención alternativa de escribir Un (el polinomio de grado n) como Un+1.Tanto Tn como Un forman una familia de polinomios ortogonales.Los polinomios de primer tipo son ortogonales con respecto al peso en el intervalo [−1,1], i.e.Similarmente, los polinomios de segundo tipo son ortogonales con respecto al peso en el intervalo [−1,1], i.e.es tal que el valor absoluto máximo en el intervaloDiferenciando los polinomios en sus formas trigonométricas, es fácil mostrar que: Las dos últimas fórmulas pueden ser numéricamente problemáticas debido a la división por cero (0/0 forma indeterminada, específicamente) en x = 1 y x = −1.Usando la definición trigonométrica y dado que es fácil demostrar que las raíces de Tn son Similarmente, las raíces de Un son Una propiedad única de los polinomios de Chebyshev de primer tipo es que en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 todos los valores extremos tienen valores iguales a −1 o 1.Por cada entero no negativo n, Tn(x) y Un(x) son ambos polinomios de grado n. Son funciones pares o impares de x si n is par o impar, entonces al ser escritos como polinomios de x sólo tiene términos pares o impares respectivamente.
