En el caso más simple, estas funciones son continuas en un intervalo finito cerrado
, en el que, por lo general, se definen unas condiciones de contorno o frontera, es decir, se concretan unos valores específicos que adoptan las funciones
son llamados valores propios o autovalores del problema de S-L que plantea (1) conjuntamente con las condiciones de frontera.
Las soluciones correspondientes son las funciones propias o los autovectores del problema.
, estas inducen operadores diferenciales hermíticos en algunas funciones definidas por las condiciones de frontera.
Esta teoría es importante en matemática aplicada, donde los problemas S-L ocurren muy comúnmente, particularmente al resolver ecuaciones diferenciales parciales con separación de variables.
Toda ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden puede ser llevada a esta forma al multiplicarle un factor integrante apropiado.
Se puede estudiar este operador lineal en el contexto del análisis funcional.
Sin embargo, también se debe incluir las condiciones de frontera.
Como ejemplo se dirá que vamos a evaluar el problema en el intervalo
existe y es única, se la puede escribir de la forma:
es esencialmente lo mismo que hallar los vectores y valores propios de
Se busca una función u(x) que resuelva el siguiente problema S-L: (8)
Tomemos por ejemplo las condiciones de frontera y observemos que si k es cualquier entero, entonces la función es una solución con valor propio λ = −k2.
Dado que las bases ortogonales por definición son máximas, concluimos que este problema S-L no tiene más vectores propios.
Mencionamos para el lector interesado que podemos aplicar un resultado que dice que la serie de Fourier converge en cada punto de diferenciabilidad, y en los puntos de salto (por ejemplo (la función x, considerada como función periódica, tiene un salto en n) converge al promedio de los límites izquierdo y derecho.
Esta técnica da u=(x3-π2x)/6, cuya serie de Fourier concuerda con la solución que encontramos.
Para una tal función W la ecuación en derivadas parciales puede escribirse como X"/X + Y"/Y = (1/c2)T"/T.
Dado que los tres términos de esta ecuación son funciones de x,y,t por separado, deben ser constantes.
En casos difíciles puede ser necesario llevar a cabo los cálculos intermedios con varios cientos de dígitos decimales para lograr los autovalores correctamente a unas cuantas cifras.
[1][2] Estos métodos funcionan adivinando un valor de λ, resolviendo un problema en valores iniciales definido por las condiciones de frontera en un extremo, digamos a, del intervalo [a,b], comparando el valor que esta solución toma en el otro extremo b con la otra condición de frontera deseada y finalmente aumentando o reduciendo λ según sea necesario para corregir el valor original.
Esta estrategia no es aplicable para encontrar autovalores complejos.
En el algoritmo SPPS, uno debe comenzar con un valor arbitrario λ0* (a menudo λ0*=0; no tiene que ser un autovalor) y con cualquier solución y0 de (1) con λ=λ0* la cual no se anule en [a,b].
(Discusión abajo sobre maneras de encontrar y0 y λ0* apropiados.)
Dos sucesiones de funciones X(n)(t), X~(n)(t) en [a,b], que se llamarán integrales iteradas, se definen de manera recursiva como sigue.
Las integrales iteradas así obtenidas se aplican ahora como coeficientes en las dos siguientes series de potencias en λ: Entonces para cualquier λ (real o complejo), u0 y u1 son soluciones linealmente dependientes de la ecuación (1) correspondiente.
Para el trabajo numérico uno puede truncar esta serie a un número finito de términos y obtener un polinomio en λ calculable, cuyas raíces son aproximaciones de los autovalores que se buscan.
Las representaciones (9),(10) también tienen aplicaciones teóricas en la teoría de S-L.[3] El mismo método SPPS puede usarse para encontrar una solución inicial y0.
Entonces la función constante 1 es una solución que no se anula, con respecto al autovalor μ0=0.
Este truco da una solución y0 de (1) para el valor λ0=0.