Modo normal
Un modo normal de un sistema oscilatorio es un patrón de movimiento en el cual todos sus componentes oscilan en forma senoidal con la misma frecuencia y una relación constante entre sus fases.
Es usual utilizar un sistema formado por masas y resortes para ilustrar el comportamiento de una estructura deformable.
Ser capaz de representar un edificio y encontrar sus modos normales es una forma fácil de verificar si el diseño del edificio es seguro.
El concepto de modos normales también es aplicable en teoría ondulatoria, óptica y mecánica cuántica.
Sean dos cuerpos (no afectados por la gravedad), cada uno de ellos de masa M, vinculados a tres resortes con constante característica K. Los mismos se encuentran vinculados de la siguiente manera: donde los puntos en ambos extremos están fijos y no se pueden desplazar.
Si se indica la derivada segunda de x(t) con respecto al tiempo como x″, las ecuaciones de movimientos son: Se prueba una solución del tipo: Sustituyendo estas en las ecuaciones de movimiento se obtiene: dado que el factor exponencial es común a todos los términos, se puede omitir y simplificar la expresión: Lo que en notación matricial es: Para que esta ecuación tenga más solución que la solución trivial, la matriz de la izquierda debe ser singular, por lo tanto el determinante de la matriz debe ser igual a cero, por lo tanto: Resolviendo para
En una onda estacionaria, todos los elementos del espacio (o sea las coordenadas (x,y,z)) oscilan con la misma frecuencia y en fase (alcanzando el punto de equilibrio juntas), pero cada una de ellas con una amplitud diferente.
En términos físicos, las ondas estacionarias son producidas por la interferencia (superposición) de ondas y sus reflexiones (a pesar de que también es posible decir justamente lo opuesto; que una onda viajera es una superposición de ondas estacionarias).
La forma geométrica del medio determina cual será el patrón de interferencia, o sea determina la forma f(x, y, z) de la onda estacionaria.
Si el problema está acotado (o sea está definido en una porción restringida del espacio) existe un número discreto infinito de modos normales (usualmente numerados n = 1,2,3,...).
Si el problema no está acotado, existe un espectro continuo de modos normales.
Por lo general, cada frecuencia está modulada por la amplitud a la cual se ha generado, dando lugar a un gráfico del espectro de potencia de las oscilaciones.
Por lo tanto, se puede expresar: Los autovectores poseen un significado físico más allá de la base ortonormal.
