Interpolación polinómica
Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar un polinomio que pase por todos los puntos.
, se llama interpolación polinómica al proceso de hallar un polinomio
de grado menor o igual a m, cumpliendo
A menudo, ni siquiera se conocerá la expresión de la función y solo se dispondrá de los valores que toma para dichas abscisas.
El objetivo será hallar un polinomio que cumpla lo antes mencionado y que permita hallar aproximaciones de otros valores desconocidos para la función con una precisión deseable fijada.
Por ello, para cada polinomio interpolador se dispondrá de una fórmula del error de interpolación que permitirá ajustar la precisión del polinomio.
Es fácil demostrar, usando el determinante de Vandermonde, que por n puntos, con la única condición de que para cada x haya una sola y, siempre se puede encontrar un polinomio de grado menor o igual a (n-1) que pase por los n puntos.
elementos los cuales corresponden, por parejas, a la imagen u ordenada y abscisa de los datos que se quieran interpolar, respectivamente, tales que: Este método es algorítmico y resulta sumamente cómodo en determinados casos, sobre todo cuando se quiere calcular un polinomio interpolador de grado elevado.
Una vez se hayan realizado todos los cálculos, nótese que hay (muchas) más diferencias divididas que coeficientes
Sin embargo, los términos usados en la construcción del polinomio interpolador son todos aquellos que involucren a
queda definido, como: Se muestra ahora una tabla nemotécnica con las diferencias divididas de una cierta función
dada para construir un polinomio interpolador de grado 2:
los valores que toma la función en esas abscisas, el polinomio interpolador de grado
están bien definidos y son siempre distintos de cero.
La interpolación de Hermite puede extenderse al conocimiento de las derivadas sucesivas de la función a interpolar en las abscisas tomadas, de modo que se puede obtener un polinomio cada vez más ajustado a la función real, ya que éste podrá cumplir otros requisitos como una determinada monotonía, concavidad, etc.
En este caso, su cálculo es árduo, largo y complicado; por lo que el uso de las llamadas diferencias divididas generalizadas simplifica mucho el cálculo del polinomio interpolador.
Las diferencias divididas generalizadas se construyen de igual modo que las Diferencias Divididas de Newton, salvo que ahora necesitaremos escribir
tantas veces más una como derivadas de f conozcamos.
Aquí solo veremos el caso en el que conocemos la primera derivada, siendo el resto una generalización de este.
se escribirá, una vez calculadas las Diferencias Divididas, de este modo
Sin embargo, podemos tomar límites y escribir esta expresión así:
Por ello, incluiremos en nuestra tabla de Diferencias Divididas los datos sobre todas las derivadas conocidas de la función a interpolar.
que se aproxima a la función dada.
Tiene dos ventajas esenciales sobre otras formas de interpolación:
Sin embargo, en ocasiones no será deseable su uso dado que el error de interpolación puede alcanzar cotas demasiado elevadas.
en distintos intervalos según el grado del spline que convenga emplear en cada uno.
Por esos puntos deben pasar los splines de ambos intervalos, pero para que la interpolación sea ajustada, conviene que el punto de unión entre dos splines sea lo más "suave" posible (ej.
Esto no será siempre posible y, a menudo, se empleará otro tipo de interpolación, quizás una interpolación no-polinómica.
La segunda es especialmente útil para funciones con valores en el cuerpo de los números complejos
En el segundo caso, necesitamos realizar una partición del intervalo de definición de la función que queremos integrar, de modo que haya suficientes abscisas para que el error sea razonablemente pequeño.
