Una Función racional
, de grado
, es un cociente de polinomios cuyos grados suman
p ( x )
q ( x )
{\displaystyle r(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}={\frac {p_{0}+p_{1}(x-x_{0})+\cdots +p_{n}(x-x_{0})^{n}}{q_{0}+q_{1}(x-x_{0})+\cdots +q_{n}(x-x_{0})^{n}}}}
La primera forma de obtener esta función racional se parece más a una interpolación que a una aproximación, propiamente dicha.
Supongamos que
son puntos, ninguno de los cuales es igual al punto
, en torno al cual se obtiene la interpolación.
Queremos que
f ( x )
{\displaystyle f(x)}
r ( x )
{\displaystyle r(x)}
coincidan en el conjunto
r ( x )
{\displaystyle r(x)}
y podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que
Por otra parte, al sustituir
, se obtiene
Así pues, el punto
ya ha sido utilizado y no intervendrá en los cálculos siguientes.
r ( x )
, cada uno de los puntos
y exigimos que el resultado sea, en cada caso, el valor de
f ( x )
{\displaystyle f(x)}
en dichos puntos, obtendremos el sistema de ecuaciones:
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}p_{k}(x_{i}-x_{0})^{k}-\sum _{j=1}^{m}f(x_{i})q_{j}(x_{i}-x_{0})^{j}=f(x_{i})-f(x_{0}),i=1,2,\cdots x_{N}}