Constantes trigonométricas expresadas en radicales reales

Las expresiones algebraicas exactas de valores trigonométricos pueden ser útiles principalmente para obtener soluciones en forma de radicales que permiten simplificar determinados resultados.Todos los números trigonométricos (senos o cosenos de submúltiplos racionales de 360°) son números algebraicos (es decir, soluciones de ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros).Cuando lo son, se pueden expresar más específicamente en términos de raíces cuadradas.Todos los valores de los senos, cosenos y tangentes de los ángulos en incrementos de 3° se pueden expresar en términos de raíces cuadradas, usando identidades (como las del ángulo mitad, las del ángulo doble y las de las sumas y restas de ángulos) y usando los valores conocidos para 0°, 30°, 36°, y 45°.Según el teorema de Niven, los únicos valores racionales de la función seno para los que el argumento es un número racional de grados son 0, 1/2, 1, −1/2 y −1.Según el teorema de Baker, si el valor de un seno, un coseno o una tangente es algebraico, entonces el ángulo es un número racional de grados o un número trascendente de grados.Es decir, si el ángulo es un número de grados algebraico, pero no racional, todas las funciones trigonométricas tienen valores trascendentes.La lista de este artículo está incompleta en varios sentidos.Primero, las funciones trigonométricas de todos los ángulos que son múltiplos enteros de los dados también pueden expresarse en radicales, pero algunos se omiten aquí.En segundo lugar, siempre es posible aplicar la fórmula del ángulo mitad para encontrar una expresión en radicales para una función trigonométrica de la mitad de cualquier ángulo de la lista, aplicando sucesivamente este procedimiento las veces que se desee.En cuarto lugar, este artículo solo se ocupa de los valores de las funciones trigonométricas cuando la expresión puede obtenerse en radicales reales, es decir, en raíces de números reales.Muchos otros valores de funciones trigonométricas se pueden expresar, por ejemplo, en raíces cúbicas de números complejos que no se pueden reescribir en términos de raíces de números reales.Por ejemplo, los valores de la función trigonométrica de cualquier ángulo que sea un tercio de un ángulo θ considerado en este artículo se pueden expresar en raíces cúbicas y raíces cuadradas usando fórmula de la ecuación cúbica para resolver pero, en general, la solución para el coseno de un tercio de un ángulo implica usar la raíz cúbica de un número complejo (en el denominado casus irreducibilis).En la práctica, todos los valores de senos, cosenos y tangentes que no se encuentran en este artículo se aproximan utilizando las técnicas descritas en el artículo dedicado a las tablas trigonométricas.Los valores fuera del rango angular [0°, 45°] se deducen trivialmente de los siguientes valores, utilizando simples relaciones de reflexión y simetría.(Véase Lista de identidades trigonométricas) En las entradas siguientes, cuando un cierto número de grados está relacionado con un polígono regular, la relación es que el número de grados en cada ángulo del polígono es (n - 2) veces el número indicado de grados (donde n es el número de lados).Esto se debe a que la suma de los ángulos de cualquier n-gono es 180° × (n - 2) y, por lo tanto, la medida de cada ángulo de cualquier n-gono regular es 180° × (n - 2) ÷ n. Así, por ejemplo, la entrada "45°: cuadrado" significa que, con n = 4, 180° ÷ n = 45°, y el número de grados en cada ángulo de un cuadrado hay (n - 2) × 45° = 90°.Para las raíces cúbicas de números no reales que aparecen en esta tabla, se tiene que tomar el valor principal, que es la raíz cúbica con la parte real más grande; esta mayor parte real es siempre positiva.Por lo tanto, las sumas de las raíces cúbicas que aparecen en la tabla son todos números reales positivos.Aquí, los triángulos rectángulos formados a partir de secciones de simetría de polígonos regulares se utilizan para calcular sus razones trigonométricas fundamentales.Cada triángulo rectángulo representa tres puntos en un polígono regular: un vértice, un centro de arista que contiene ese vértice y el centro del polígono.En formato radianes, sen y cos de π/2n se pueden expresar en formato radical aplicando de forma recursiva lo siguiente: Por ejemplo: y así sucesivamente.entonces Por lo tanto, aplicando inducción: La inducción anterior se puede aplicar de la misma manera a todos los Número de Fermat restantes (F3 = 223 + 1 = 28 + 1 = 257 y F4 = 224 + 1 = 216 + 1 = 65537), los factores de π cuyas expresiones radicales cos y sen se sabe que existen pero son muy largas para expresarlas aquí.D = 232 - 1 = 4,294,967,295 es el denominador entero impar más grande para el cual se sabe que existen formas radicales para sen (π / D) y cos (π / D).Usando los valores de forma radical de las secciones anteriores, y aplicando cos (A-B) = cosA cosB + senA senB, seguido de inducción, se obtiene - Por lo tanto, utilizando los valores de forma radical de las secciones anteriores y aplicando cos (A-B) = cosA cosB + senA senB, seguido de inducción, se obtiene - Finalmente, usando los valores de forma radical de las secciones anteriores, y aplicando cos (A-B) = cosA cosB + senA senB, seguido de inducción, se obtiene - La expansión de la última forma radical es muy grande, por lo que se expresa en la forma más simple anterior.Aplicando el teorema de Ptolomeo al cuadrilátero cíclico ABCD definido por cuatro vértices sucesivos del pentágono, se deduce que: que es el 1/φ recíproco del número áureo.crd es la función cuerda, (Consúltese también la tabla de cuerdas de Ptolomeo) Así (Alternativamente, sin usar el teorema de Ptolomeo, rotúlese como X la intersección de AC y BD, y obsérvese considerando los ángulos que el triángulo AXB es isósceles, entonces AX = AB = a.Los triángulos AXD y CXB son semejantes, porque AD es paralelo a BC.Pero AX + XC = AC, entonces a + a2/b = b.De forma similar y entonces Si θ es 18° o -54°, entonces 2θ y 3θ suman 5θ = 90° o -270°, por lo tanto sen 2θ es igual a cos 3θ.