Número trigonométrico

En matemáticas, un número trigonométrico[1]​: ch. 5  es un número irracional obtenido al calcular el seno o el coseno de un múltiplo racional de un círculo completo, o de manera equivalente, el seno o coseno de un ángulo que en radianes es un múltiplo racional de π, o el seno o coseno de un número racional de grados.Uno de los ejemplos más simples esUn número real diferente de 0, 1, –1, 1/2, –1/2 es un número trigonométrico si y solo si es la parte real número complejo de una raíz de la unidad (véase el teorema de Niven).Por tanto, cada número trigonométrico es la mitad de la suma de dos raíces unitarias conjugadas complejas.Ivan Niven dio pruebas de teoremas relacionadas con estos números.[1]​[2]​: ch.3  Li Zhou y Lubomir Markov[3]​ mejoraron y simplificaron recientemente las demostraciones de Niven.Cualquier número trigonométrico se puede expresar en términos de radicales.Aquellos que se pueden expresar en términos de raíces cuadradas están bien caracterizados (véase constantes trigonométricas expresadas en radicales reales).Para expresar los otros en términos de radicales, se requieren raíces n-simas de números complejos no reales, con n > 2.Una prueba elemental de que todo número trigonométrico es un número algebraico es la siguiente:[2]​: pp.para k y n coprimos: Expandiendo el lado izquierdo de la ecuación y equiparando las partes reales se obtiene una ecuación enda una ecuación polinomial que tienecomo solución, por definición, este último es un número algebraico.