Pentadecágono

En geometría, un pentadecágono es un polígono de 15 lados y 15 vértices.[1]​ Un pentadecágono tiene 90 diagonales, resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para determinar el número de diagonales de un polígono,, se tiene que: La suma de todos los ángulos internos de cualquier pentadecágono es 2340 grados oUn pentadecágono regular es el polígono que tiene todos sus lados de la misma longitud y todos sus ángulos internos iguales.Cada ángulo interno del pentadecágono regular mide 156º oCada ángulo externo del pentadecágono regular mide 24º oes la función tangente (con el argumento en radianes).Si se conoce la longitud de la apotema a del polígono, otra alternativa para calcular el área es: Como 15 = 3 × 5, un producto de distintos números de Fermat, un pentadecágono regular es construible usando regla y compás.[2]​ Compárese la construcción según Euclides en esta imagen: Pentadecágono En la construcción a partir de un círculo circunscrito dado:{\displaystyle {\overline {FG}}={\overline {CF}}{\text{,}}\;{\overline {AH}}={\overline {GM}}{\text{,}}\;|E_{1}E_{6}|}es un lado de un triángulo equilátero yes un lado de un pentágono regular.según la relación del número áureo:En comparación con la primera animación (con líneas verdes), en las dos imágenes siguientes se muestran los dos arcos circulares (para ángulos de 36° y 24°) rotados 90° en sentido antihorario., sino que utilizan el segmentopara el segundo arco circular (ángulo 36°).Construcción de compás y regla para una longitud de lado determinada.La construcción es casi igual a la del pentágono de lado conocido.La presentación se logra mediante la extensión de un lado y se genera un segmento, aquíque se divide según la proporción áurea:El "pentadecágono regular" posee simetría diedral Dih15 de orden 30, representado por 15 ejes de simetría.El grupo Dih15 incluye 3 subgrupos diedrales: Dih5, Dih3 y Dih1, y cuatro simetrías cíclicas más: Z15, Z5, Z3 y Z1, con Zn representando la simetría rotacional de π/n radianes.En el pentadecágono se pueden dar 8 tipos de simetrías distintas.John Conway clasificó estas simetrías usando una letra y el orden de la simetría a continuación.Con a1 se etiquetan aquellas figuras con ausencia de simetría.Los tipos de simetrías más bajos permiten disponer de uno o más grados de libertad para definir distintas figuras irregulares.[4]​ Solo el subgrupo g15 no tiene grados de libertad, pero puede verse como un grafo dirigido.(Véase un ejemplo en la Teoría de grupos de John Conway) Hay tres estrellas regulares: {15/2}, {15/4} y {15/7}, construidas a partir de los mismos 15 vértices de un pentadecágono regular, pero conectados saltando cada segundo, cuarto o séptimo vértice respectivamente.También hay otras tres estrellas regulares no continuas: {15/3}, {15/5} y {15/6}, la primera compuesta por tres pentágonos, la segunda por cinco triángulos equiláteros y la tercera formada por tres estrellas pentagonales .La figura compuesta {15/3} puede verse vagamente como el equivalente bidimensional de una figura tridimensional, el compuesto de cinco tetraedros.Los truncamientos más profundos del pentadecágono regular y los pentadecagramas pueden producir formas poligonales de estrellas intermedias isogonales (figura isogonal) con vértices espaciados iguales y dos longitudes de lado.