Ley de las cotangentes

Así como las tres cantidades cuya igualdad se expresa según la ley de los senos son iguales al diámetro del círculo circunscrito del triángulo (o a su recíproco, dependiendo de cómo se exprese la ley), así también la ley de las cotangentes relaciona el radio del círculo inscrito de un triángulo (el radio interno) a sus lados y ángulos.

Usando las notaciones habituales para un triángulo (véase la figura en la parte superior derecha), donde a, b, c son las longitudes de los tres lados, A, B, C son los vértices opuestos a esos tres lados respectivos, α, β, γ son los ángulos correspondientes en esos vértices, y s es el semiperímetro, es decir, s = a + b + c/2, entonces y además, el inradio viene dado por En la figura superior, los puntos de tangencia del incírculo con los lados del triángulo dividen el perímetro en 6 segmentos, formando 3 pares (uno alrededor de cada vértice).

Por ejemplo, los dos segmentos adyacentes al vértice A son iguales.

Si se elige un segmento de cada par, su suma será el semiperímetro s. Un ejemplo de esto son los segmentos que se muestran en color en la figura.

Al inspeccionar la figura, usando la definición de la función cotangente, se tiene que y lo mismo para los otros dos ángulos, lo que demuestra la primera afirmación.