Función elíptica de Jacobi

Las funciones elípticas de Jacobi son funciones definidas a partir de la integral elíptica de primera especie y aparecen en diversos contextos, deben su nombre al matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi (1829).

En física aparecen por ejemplo las oscilaciones de un péndulo con grandes amplitudes sometido a la gravedad, o el movimiento de una peonza asimétrica.

Considérese la integral elíptica incompleta de primera especie definida como:

d v

{\displaystyle u=F_{k}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dv}{\sqrt {(1-v^{2})(1-k^{2}v^{2})}}}}

La inversa de esta función es la primera de las tres funciones elípticas de Jacobi:

u = x =

Las otras dos funciones elípticas de Jacobi se definen a partir de esta por las relaciones siguientes:

{\displaystyle {\begin{cases}{\mbox{cn}}_{k}\ u={\sqrt {1-{\mbox{sn}}_{k}^{2}u}}={\sqrt {1-x^{2}}}\\{\mbox{dn}}_{k}\ u={\sqrt {1-k^{2}{\mbox{sn}}_{k}^{2}u}}={\sqrt {1-kx^{2}}}\end{cases}}}

En primer lugar las funciones elípticas satisfacen un conjunto de identidades análogo al que satisfacen las funciones trigonométricas:

{\displaystyle {\begin{cases}{\mbox{cn}}_{k}^{2}u+{\mbox{sn}}_{k}^{2}u=1\\{\mbox{dn}}_{k}^{2}u+k^{2}{\mbox{sn}}_{k}^{2}u=1\\{\mbox{dn}}_{k}^{2}u-k^{2}{\mbox{cn}}_{k}^{2}u=1-k^{2}\end{cases}}}

En cuanto a los valores particulares se tiene que para u = 0 las funciones valen: Las funciones elípticas pueden considerarse una generalización de las funciones trigonométricas; de hecho cuando k tiende a cero las funciones elípticas de Jacobi se reducen a las funciones trigonométricas convencionales: Las respectivas series de Taylor vienen dadas por: Una propiedad interesante de las funciones elípticas de Jacobi es que son doblemente periódicas.

Tienen un periodo real y otro período complejo: Donde los valores que definen los períodos viene dados por: donde q es el nomo de las funciones

( x , q )

{\displaystyle \theta _{i}(x,q)}

que se relaciona con el módulo de las funciones elípticas mediante la relación: Algunas relaciones útiles para el "ángulo doble" son: Algunas relaciones que involucran a las funciones elípticas secundarias son: Análogamente a las fórmulas de adición de ángulos para las fórmulas trigonométricas, para las funciones elípticas de Jacobi pueden establecerse las siguientes relaciones:

( u + v ) =

{\displaystyle {\mbox{sn}}_{k}(u+v)={\frac {{\mbox{sn}}_{k}\ u\ {\mbox{cn}}_{k}\ v\ {\mbox{dn}}_{k}\ v\ +{\mbox{cn}}_{k}\ u\ {\mbox{sn}}_{k}\ v\ {\mbox{dn}}_{k}\ u}{1-k^{2}{\mbox{sn}}_{k}^{2}u\ {\mbox{sn}}_{k}^{2}v}}}

( u + v ) =

{\displaystyle {\mbox{cn}}_{k}(u+v)={\frac {{\mbox{cn}}_{k}\ u\ {\mbox{cn}}_{k}\ v\ -{\mbox{sn}}_{k}\ u\ {\mbox{sn}}_{k}\ v\ {\mbox{dn}}_{k}\ u\ {\mbox{dn}}_{k}\ v}{1-k^{2}{\mbox{sn}}_{k}^{2}u\ {\mbox{sn}}_{k}^{2}v}}}

( u + v ) =

{\displaystyle {\mbox{dn}}_{k}(u+v)={\frac {{\mbox{dn}}_{k}\ u\ {\mbox{dn}}_{k}\ v\ -k^{2}{\mbox{sn}}_{k}\ u\ {\mbox{sn}}_{k}\ v\ {\mbox{cn}}_{k}\ u\ {\mbox{cn}}_{k}\ v}{1-k^{2}{\mbox{sn}}_{k}^{2}u\ {\mbox{sn}}_{k}^{2}v}}}

A partir de los cocientes de las funciones de Jacobi anteriormente definidas es común definir otras funciones derivadas.

En primer lugar se definen las funciones recíprocas:

{\displaystyle {\mbox{ns}}\ u={\frac {1}{{\mbox{sn}}\ u}}\qquad {\mbox{nc}}\ u={\frac {1}{{\mbox{cn}}\ u}}\qquad {\mbox{nd}}_{k}\ u={\frac {1}{{\mbox{dn}}\ u}}}

En segundo lugar los cocientes:

{\displaystyle {\mbox{sc}}_{k}\ u={\frac {{\mbox{sn}}_{k}\ u}{{\mbox{cn}}_{k}\ u}}\qquad {\mbox{sd}}_{k}\ u={\frac {{\mbox{sn}}_{k}\ u}{{\mbox{dn}}_{k}\ u}}\qquad {\mbox{cd}}_{k}\ u={\frac {{\mbox{cn}}_{k}\ u}{{\mbox{dn}}_{k}\ u}}}

Junto con sus respectivas funciones recíprocas:

{\displaystyle {\mbox{cs}}_{k}\ u={\frac {{\mbox{cn}}_{k}\ u}{{\mbox{sn}}_{k}\ u}}\qquad {\mbox{ds}}_{k}\ u={\frac {{\mbox{dn}}_{k}\ u}{{\mbox{sn}}_{k}\ u}}\qquad {\mbox{dc}}_{k}\ u={\frac {{\mbox{dn}}_{k}\ u}{{\mbox{cn}}_{k}\ u}}}

Existen así un total de 12 funciones elípticas de Jacobi.